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鳳中雲端讀書會-佳蓉分會 / <數學家的故事>心得報告

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郭佳蓉
高中的最後一個學期,有些人已經是準大學生了!派了這份開放性作業:找一個自己感興趣的數學家,查查他(她)的生平.事蹟.作品...,了解成功者的人格特質.努力過程...,寫下自己的心得感想,為整個中學數學學習畫下完美的句點!

2013-04-16 10:59:42
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郭佳蓉

    尤拉,十八世紀的偉大數學家。1707415生於瑞士,由於尤拉的父親從小就常給他說些有關數學的故事,使尤拉很早就對數學產生濃厚的興趣。13歲時,尤拉便考進了當地的大學,但是他的父親並不希望兒子讀數學,想讓尤拉就讀神學系,以便畢業後容易找到一份像樣的工作。為此這位當時瑞士最著名的數學家約翰伯努力,還親自登門苦勸尤拉的父親,終於使得尤拉的父親改變主意。從此尤拉在約翰伯努力的指導下,將自己的ㄧ生無悔地奉獻給數學。

    還記得幾天前在報紙上看到尤拉誕辰的報導,我腦中的連結好像只有著名的尤拉公式,以及「又過的三百年」的感慨。於是我決定以尤拉當作我這次作業的主題,原來尤拉的貢獻並不是只有尤拉公式,還有尤拉函數、尤拉數、尤拉線、尤拉角、尤拉圖和尤拉代換等。看到這些害我稍稍有點頭暈。但是這些發現及推算的確替人類在「數學」這塊未知大陸又開拓了ㄧ片新天地,尤拉28歲時因為過度緊張地工作而生重病,導致右眼失明,但他在帶有殘疾的情況之下還有如此輝煌的成就,怪不得他在當時會被許多國家的科學院邀請。

    而且尤拉有ㄧ點特質讓我覺得非常有感觸,就是尤拉的個性太單純和過於謙遜,所以當他被俄國受邀之後,因為無法接受沙皇制度而離開了俄國,但他還是積極將先進的科學知識傳進長期閉塞落後的俄羅斯,創立了俄羅斯第一個數學學派---尤拉學派也培養了許多青少年成為人才,「即使現況與自己不合,但是還是盡力將事情做好」,尤拉這點讓我非常欣賞。此外,尤拉也不吝嗇於將自己的發現與別的學者分享及討論,例如尤拉曾經和拉格朗日一起討論"等周問題"的解法。

    在數學史上,十八世紀被人們稱為「尤拉時代」。他與阿基米德牛頓高斯,並列為貢獻最大的四大數學家。能擁有這樣的稱號,我想尤拉真的實至名歸。對於他的純樸的個性我有所嚮往,對於他清晰的邏輯推理我有所嚮往,但是光說不練怎麼可以,所以我以大數學家尤拉做為偶像,努力盡己做事且不吝於分享,最重要的是---尤拉ㄧ樣,對自己有興趣的事物能有所堅持,有所探索,有所發現以及有所

無悔付出。

31832傅勝騰

2013-04-22 10:12:47
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郭佳蓉

高斯

生平:高斯是一對普通夫婦的兒子。他的母親是一個貧窮石匠的女兒,雖然十分聰明,但卻沒有接受過教育,近似於文盲。在她成為高斯父親的第二個妻子之前,她從事女傭工作。他的父親曾做過工頭,商人的助手和一個小保險公司的評估師。當高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債帳目的事情,已經成為一個軼事流傳至今。他曾說,他能夠在腦袋中進行複雜的計算。他的業是園丁,他做事認真.

高斯9歲時利用很短的時間就計算出了小學老師提出的問題:自然數1100的求和。他所使用的方法是:對50對構造成和101數列求和(1100299398……),同時得到結果:5050

小時候高斯家裡很窮,且他父親不認為學問有何用,但高斯依舊喜歡看書,話說在小時候,冬天吃完飯後他父親就會要他上床睡覺,以節省燃油,但當他上床睡覺時,他會將蕪菁的內部挖空,裡面塞入棉布卷,當成燈來使用,以繼續讀書。[2][3]

當高斯12歲時,已經開始懷疑元素幾何學中的基礎證明。當他16歲時,預測在歐氏幾何之外必然會產生一門完全不同的幾何學,即非歐幾里德幾何學。他導出了二項式定理的一般形式,將其成功的運用在無窮級數,並發展了數學分析的理論。

高斯的老師布呂特內爾與他助手馬丁·巴爾特斯 很早就認識到了高斯在數學上異乎尋常的天賦,同時赫爾措克· 卡爾·威廉· 費迪南·馮·不倫瑞克也對這個天才兒童留下了深刻印象。於是他們從高斯14歲起便資助其學習與生活。這也使高斯能夠在公元17921795年在Carolinum學院(今天不倫瑞克學院的前身)學習。18歲時,高斯轉入哥廷根大學學習。在他19歲時,第一個成功的用尺規構造出了規則的17邊形。

高斯於公元1805105日與來自不倫瑞克Johanna Elisabeth Rosina Osthoff小姐(1780-1809)結婚。在公元18068月21迎來了他生命中的第一個孩子Joseph。此後,他又有兩個孩子。威廉妮(18091840)和路易斯(18091810)。1807高斯成為哥廷根大學的教授和當地天文台的台長。

 

1838年出版的天文學通報中高斯肖像。

雖然高斯作為一個數學家而聞名於世,但這並不意味著他熱愛教書。儘管如此,他越來越多的學生成為有影響的數學家,如後來聞名於世的戴德金黎曼

高斯非常信教且保守。他的父親死於1808414日,晚些時候的18091011日,他的第一位妻子Johanna也離開人世。次年84日高斯迎娶第二位妻子弗雷德妮卡·威廉妮 (17881831)。他們又有三個孩子:歐根(18111896)、威廉(18131883)和 特雷瑟(1816-1864)。

1831912日他的第二位妻子也死去,1837年高斯開始學習俄語。1839418日,他的母親在哥廷根逝世,享年95歲。高斯於1855223日凌晨1點在哥廷根去世。

貢獻: 18歲的高斯發現了最小二乘法,並猜測了質數定理。通過對足夠多的測量數據的處理後,可以得到一個新的、機率性質的測量結果。在這些基礎之上,高斯隨後專注於曲面曲線的計算,並成功得到高斯鐘形曲線(常態分佈曲線)。其函數被命名為標準常態分佈(或高斯分布),並在機率計算中大量使用。

在高斯19歲時,僅用尺規便構造出了17邊形。並為流傳了2000年的歐氏幾何提供了自古希臘時代以來的第一次重要補充。

高斯總結了複數的應用,並且嚴格證明了每一個n階的代數方程必有n個實數或者複數解。在他的第一本著名的著作《算術研究》中,作出了二次互反律的證明,成為數論繼續發展的重要基礎。在這部著作的第一章,導出了三角形全等定理的概念。

高斯在最小二乘法基礎上創立的測量平差理論的幫助下,測算天體的運行軌跡。他用這種方法,測算出了小行星穀神星的運行軌跡。

穀神星1801被義大利天文學家皮亞齊發現,但因病他耽誤了觀測,從而失去了這顆小行星的軌跡。皮亞齊以希臘神話中的「豐收女神」對它命名,稱為穀神星,並將自己以前觀測的數據發表出來,希望全球的天文學家一起尋找。高斯通過以前3次的觀測數據,計算出了穀神星的運行軌跡。奧地利天文學家海因里希·歐伯斯根據高斯計算出的軌道成功地發現了穀神星。高斯將這種方法發表在其著作《天體運動論》(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium)中。

為了獲知每年復活節的日期,高斯推導了復活節日期的計算公式。

18181826間,高斯主導了漢諾瓦公國的大地測量工作。通過最小二乘法為基礎的測量平差的方法和求解線性方程組的方法,顯著地提高了測量的精度。

高斯親自參加野外測量工作。他白天觀測,夜晚計算。在五六年間,經他親自計算過的大地測量數據超過100萬個。當高斯領導的三角測量外場觀測走上正軌後,高斯把主要精力轉移到處理觀測成果的計算上,寫出了近20篇對現代大地測量學具有重大意義的論文。在這些論文中,他推導了由橢圓面向圓球面投影時的公式,並作出了詳細證明。這個理論直至現在仍有應用的價值。

漢諾瓦公國的大地測量工作至1848年結束。這項大地測量史上的巨大工程,如果沒有高斯在理論上的仔細推敲,在觀測上力圖合理和精確,在數據處理上盡量周密和細緻,就不能圓滿的完成。在當時的不發達的條件下,布設了大規模的大地控制網,精確地確定2578個三角點的大地坐標。

為了用橢圓在球面上的正形投影理論以解決大地測量中出現的問題,在這段時間內高斯亦從事了曲面和投影的理論,並成為了微分幾何的重要理論基礎。相對論證明了宇宙空間實際上是非歐幾何的空間。高斯的思想被近100年後的物理學接受了。

高斯試圖在漢諾瓦公國的大地測量中通過測量HarzBrocken——Thuringer WaldInselsberg——哥廷根的Hohen Hagen三個山頭所構成的三角形的內角和,以驗證非歐幾何的正確性,但未成功。高斯的朋友鮑耶的兒子雅諾斯在1823年證明了非歐幾何的存在。高斯對他勇於探索的精神表示了讚揚。1840,羅巴切夫斯基用德文寫了《平行線理論的幾何研究》一文。這篇論文的發表引起了高斯的注意。他非常重視這一論證,積極建議哥廷根大學聘請羅巴切夫斯基為通信院士。為了能直接閱讀他的著作,從這一年開始,63歲的高斯開始學習俄語,並最終掌握了這門外語。高斯最終成為微分幾何的始祖(高斯、雅諾斯和羅巴切夫斯基)之一。

出於對實際應用的興趣,高斯發明了日光反射儀。日光反射儀可以將光束反射至大約450公里外的地方。高斯後來不止一次地為原先的設計作出改進,試製成功了後來被廣泛應用於大地測量的鏡式六分儀。

19世紀30年代,高斯發明了磁強計。他辭去了天文台的工作,而轉向物理的研究。他與韋伯(18041891)在電磁學領域共同工作。他比韋伯年長27歲,以亦師亦友的身份與其合作。1833,通過受電磁影響的羅盤指針,他向韋伯發送出電報。這不僅是從韋伯的實驗室與天文台之間的第一個電話電報系統,也是世界首創的第一個電話電報系統。儘管線路才8千米長。

1840,他和韋伯畫出了世界第一張地球磁場圖,並且定出了地球磁南極和磁北極的位置。次年,這些位置得到美國科學家的證實。

31240萬晉銘

2013-04-22 10:15:42
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郭佳蓉

祖沖之

三年十二班  八號  葉采千

中國偉大的數學家-祖沖之(429年-500),如果他還活著,已經1584歲了。

祖沖之字文遠,他活躍在劉宋時代(即南北朝時期南朝的第一個朝代),此人多才多藝,身兼數學家、天文學家,也研究機械。其主要成就在數學、天文曆法和機械製造三個領域。此外歷史記載祖沖之精通音律,擅長下棋,還寫有小說《述異記》。

古代在學問、官位方面多是子承父職,因此祖家歷代都對天文曆法很有研究,祖沖之從小就接觸天文、數學知識。青年時就得到博學多才的名聲。而在公元464年他調至婁縣(今江蘇崑山東北)擔任縣令。在此期間他編製了《大明曆》,計算了圓周率,可說是他人生最大的成就。在此特別說明祖沖之在圓周率方面的成就。

在他以前就有很多圓周率出現,中國古書「周髀算經」中記載著「周三徑一」,這真是全世界最粗糙的圓周率了,在中國比祖沖之更早提出圓周率的人很多,如西漢的劉歆、東漢的張衡、魏晉的劉徽。一般用的方法叫做『割圓術』。(西元263年)魏晉的劉徽以割圓數求得π=3.141024,這已經很了不起了。

當時劉徽將圓割成正96邊形而計算得出的。而    祖沖之再經過漫長又煩瑣的計算,一直算到圓內接正24576邊形,而得到一個結論:圓周率的值介於3.14159263.1415927之間。

我在維基百科找到圓周率=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

我私下計算,祖沖之的圓周率3.14159265來算,其誤差0.000000358979323%,可說接近零了。

來看一下中外歷代一些尋求圓周率的人士:

日期

計算者

π

20世紀

埃及人Rhind Papyrus

3.160493...

9世紀

印度人Shatapatha Brahmana

3.138888...

20

Vitruvius

25/8 = 3.125

150

托勒密

377/120 = 3.141666..

263

劉徽

3.141024

480

祖沖之

3.1415926

1150

Bhaskara

3.14156

1220

比薩的列奧納多

3.141818

 

祖沖之圓周率十分精確,直到一千多年後才由15世紀的阿拉伯數學家阿爾·卡西以17位有效數字打破此記錄。

最後來看近代中外人士有多崇拜這位一千五百多年前的數學家:

1為紀念祖沖之,人們將月球背面的一座環形山命名為「祖沖之環形山」

2將小行星1888命名為「祖沖之小行星」

3上海浦東張江高科技園區內有一條城市道路命名為「祖沖之路」

4莫斯科大學大禮堂前的走廊壁上,用彩色大理石鑲嵌著祖沖之像

5河北保定有一所以祖沖之命名的中學

6有祖沖之郵票,祖沖之銀幣等紀念品

 

 

 

 

 

 

祖沖之報告讀後感

 

    在微積分尚未出現之前,就有許多數學家能利用各種方法求出圓周率,而祖沖之就是其中一個代表。

 

    祖沖之利用割圓術將圓分割成24567邊形以求圓周率,由此可見其毅力真的是無人能及,作家劉葉秋說的好:「讀書治學,只有苦工,而無捷徑。」,正如我們讀書學習,也須打好基礎,從根本開始,「山成由一簣,崇積始微塵」,祖沖之已經用他的成就印證了這個道理。

 

    祖沖之,一個不是天才的天才,憑著自己本身的努力完成了不可能的任務,邊整理他的故事,邊想起小王子書中的狐狸曾對小王子說過:「是你為你的玫瑰花所花的時間,使她變得如此重要。」,或許正是因為數學對於祖沖之而言是無可取代的,所以他願意花更多時間去研究、探討它,這也讓我了解到「熱情」對於求取學問的重要性。

 

    或許我們的人生就要像祖沖之的一樣,不怕刻苦、不怕失敗,探討萬物,追求極限,正如雨果所說的:「人生下來,不是為了抱著鎖鏈,而是為了展開雙翼。」,去完成別人眼中不可能的事情吧!這世上沒有誰可以為誰設限,除非你不想跑,而當你停下腳步時,界線就畫在你的腳尖。

2012/04/21

 



2013-04-22 10:18:00
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郭佳蓉

偉大的數學家~笛卡兒

生平:

    笛卡兒出身於一個地位較低的貴族家庭,父親Joachim是布列塔尼議會的議員。1歲多時母親患肺結核去世,而他也受到傳染,造成體弱多病。母親去世後,父親移居他鄉並再婚,而把笛卡兒留給了他的外祖母帶大,自此父子很少見面,但是父親一直提供金錢方面的幫助,使他能夠受到良好的教育。

    在笛卡兒8歲時,他就進入拉夫賴士(La Flèche)的耶穌會學校接受教育,受到良好的古典學以及數學訓練。1613年到普瓦捷大學學習法律,1616年畢業。畢業後笛卡兒一直對職業選擇不定,又決心遊歷歐洲各地,專心尋求「世界這本大書」中的智慧。因此他於1618年在荷蘭入伍,隨軍遠遊。

    在笛卡兒的時代,拉丁文是學者的語言。他也如當時的習慣,在他的著作上簽上他的拉丁化的名字——Renatus Cartesius(瑞那圖斯·卡提修斯)。正因為如此,由他首創的直角坐標系也稱卡提修坐標系(現在常稱笛卡兒坐標系)。然而,笛卡兒用法文寫作而不用拉丁文,這也表示當時拉丁文的歐洲學術語言地位正不斷趨於廢棄。

    笛卡兒對結合數學與物理學的興趣,是在荷蘭當兵期間產生的。16181110日,他偶然在路旁公告欄上,看到用佛萊芒語提出的數學問題徵答。這引起了他的興趣,並且讓身旁的人,將他不懂的佛萊芒語翻譯成拉丁語。這位身旁的人就是大他八歲的以撒·貝克曼(Isaac Beeckman)。貝克曼在數學和物理學方面有很高造詣,很快成為了他的心靈導師。4個月後,他寫信給貝克曼:「你是將我從冷漠中喚醒的人……」,並且告訴他,自己在數學上有了4個重大發現。

 

對數學的貢獻:

    笛卡兒對數學最重要的貢獻是創立了解析幾何。笛卡兒成功地將當時完全分開的代數和幾何學聯繫到了一起。在他的著作《幾何》中,笛卡兒向世人證明,幾何問題可以歸結成代數問題,也可以通過代數轉換來發現、證明幾何性質。笛卡兒引入了坐標系以及線段的運算概念。笛卡兒在數學上的成就為後人在微積分上的工作提供了堅實的基礎,而後者又是現代數學的重要基石。他創新地將幾何圖形『轉譯』代數方程式,從而將幾何問題以代數方法求解,這就是今日的解析幾何『或稱座標幾何』

    此外,現在使用的許多數學符號都是笛卡兒最先使用的,這包括了已知數a, b, c以及未知數x, y, z等,還有指數的表示方法。他還發現了凸多面體邊、頂點、面之間的關係,後人稱為歐拉-笛卡兒公式。還有微積分中常見的笛卡兒葉形線也是他發現的。

 

我對於笛卡兒的感覺與心得:

    從小開始,就常常從數學課本中讀到了他的名字,對於他的事蹟與貢獻,更是大家皆有目共睹的!我還記得,笛卡而想出座標系的原因,是因為天空中有太多的星星,卻沒有一個可以明確的指出他們的位置,因此,他便想出了座標系的概念,而這恐怕是當年造成轟動的一項創舉吧!再他創造座標系以前,人們總是深深苦惱著如何才能把物體的位置明確的表達出來,而有了此座標系後,我們便不用煩惱如何才能使別人一聽就了解物體的位置,這不是很偉大的一個事蹟嗎?

    也許在數學史中比笛卡兒貢獻更多的數學家數都數不清,不過,我認為笛卡兒的時代如此早,而雖然他只是點出了座標系的概念,但如果沒有座標系的話,那所有數學幾何的題目根本就無法做,而且他不僅是在數學方面有貢獻,在物理方面及哲學思想也都有卓著的貢獻,所以在我心目中,笛卡兒永遠是最偉大的數學家!

 

參考資料:

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%9B%E5%8D%A1%E5%85%92

31840謝旻諺



2013-04-29 15:25:05
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郭佳蓉

哥特佛萊德·萊布尼茲

生平:

哥特佛萊德·威廉·萊布尼茲Gottfried Wilhelm Leibniz164671日-17161114日),德意志哲學家數學家。他的著書約四成為拉丁文、約三成為法文、約一成為德文。萊布尼茲是歷史上少見的通才,被譽為十七世紀亞里士多德。他本人是一名律師,經常往返於各大城鎮,他許多的公式都是在顛簸的馬車上完成的,他也自稱具有男爵貴族身份。

 

  萊布尼茲在數學史哲學史上都佔有重要地位。在數學上,他和牛頓先後獨立發明了微積分。有人認為,萊布尼茲最大的貢獻不是發明微積分,而是發明了微積分中使用的數學符號,因為牛頓使用的符號被普遍認為比萊布尼茲的差。萊布尼茲還對二進制的發展做出了貢獻。

 

  在哲學上,萊布尼茲的樂觀主義最為著名,例如他認為,「我們的宇宙,在某種意義上是上帝所創造的最好的一個。」他和笛卡爾巴魯赫·斯賓諾莎被認為是十七世紀三位最偉大的理性主義哲學家。萊布尼茲在哲學方面的工作在預見了現代邏輯學分析哲學誕生的同時,也顯然深受經院哲學傳統的影響,更多地應用第一性原理或先驗定義,而不是實驗證據來推導以得到結論。

 

  萊布尼茲對物理學技術的發展也做出了重大貢獻,並且提出了一些後來涉及廣泛——包括生物學醫學地質學機率論心理學語言學信息科——的概念。萊布尼茲在政治學法學倫理學神學哲學歷史學語言學諸多方向都留下了著作。

 

  萊布尼茲對如此繁多的學科方向的貢獻分散在各種學術期刊、成千上萬封信件、和未發表的手稿中,截止至2010年,萊布尼茲的所有作品還沒有收集完全。http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%88%88%E7%89%B9%E5%BC%97%E9%87%8C%E5%BE%B7%C2%B7%E8%8E%B1%E5%B8%83%E5%B0%BC%E8%8C%A8 - cite_note-2哥特佛萊德·威廉·萊布尼茲圖書館的萊布尼茲手稿藏品——Niedersächische Landesbibliothek 2007年被收入聯合國教科文組織編寫的世界記憶項目

 

  由於萊布尼茲曾在漢諾瓦生活和工作了近四十年,並且在漢諾瓦去世,為了紀念他和他的學術成就,200671,也就是萊布尼茲360周年誕辰之際,漢諾瓦大學正式改名為漢諾瓦萊布尼茲大學

 

 

 

 

微積分:

  萊布尼茲與牛頓誰先發明微積分的爭論是數學界至今最大的公案。萊布尼茲於1684發表第一篇微分論文,定義了微分概念,採用了微分符號dxdy1686他又發表了積分論文,討論了微分與積分,使用了積分符號∫。依據萊布尼茲的筆記本,167511月11他便已完成一套完整的微分學。

  然而1695英國學者宣稱:微積分的發明權屬於牛頓;1699又說:牛頓是微積分的「第一發明人」。1712英國皇家學會成立了一個委員會調查此案,1713初發布公告:「確認牛頓是微積分的第一發明人。」萊布尼茲直至去世後的幾年都受到了冷遇。由於對牛頓的盲目崇拜,英國學者長期固守於牛頓的流數術,只用牛頓的流數符號,不屑採用萊布尼茲更優越的符號,以致英國的數學脫離了數學發展的時代潮流。

  不過萊布尼茲對牛頓的評價非常的高,在1701柏林宮廷的一次宴會上,普魯士國王腓特烈詢問萊布尼茲對牛頓的看法,萊布尼茲說道:「在從世界開始到牛頓生活的時代的全部數學中,牛頓的工作超過了一半。」

  牛頓在1687年出版的《自然哲學的數學原理》的第一版和第二版也寫道:「十年前在我和最傑出的幾何學家萊布尼茲的通信中,我表明我已經知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法,但我在交換的信件中隱瞞了這方法,……這位最卓越的科學家在回信中寫道,他也發現了一種同樣的方法。他並訴述了他的方法,它與我的方法幾乎沒有什麼不同,除了他的措詞和符號而外」因此,後來人們公認牛頓和萊布尼茲是各自獨立地創建微積分的。

  牛頓從物理學出發,運用集合方法研究微積分,其應用上更多地結合了運動學,造詣高於萊布尼茲。萊布尼茲則從幾何問題出發,運用分析學方法引進微積分概念、得出運演算法則,其數學的嚴密性與系統性是牛頓所不及的。

  萊布尼茲認識到好的數學符號能節省思維勞動,運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。因此,他所創設的微積分符號遠遠優於牛頓的符號,這對微積分的發展有極大影響。17141716年間,萊布尼茲在去逝前,起草了《微積分的歷史和起源》一文(本文直到1846年才被發表),總結了自己創立微積分學的思路,說明了自己成就的獨立性。

 

 

 

心得:

  萊布尼茲的一生並不完美,甚至到死之前都還鬱鬱而終,但他在數學和科學上的突破,卻是任何人都無法否認的。雖然歷史上都認為牛頓比他更早發明出微積分,但我認為萊布尼茲的成就卻是遠超牛頓的,他利用幾何學推算出微積分,然而;牛頓卻是用艱深的數學導出微積分,高下立判,萊布尼茲用簡單的圖形、符號清楚地告訴世人什麼是微積分,反之,牛頓艱深的數學以及複雜的符號卻讓科學家看的一頭霧水,英國科學家也在二百年後改採用了他的符號。從這可以清楚得看出,牛頓是一位好學者,但萊布尼茲是一位好學者同時也是一位好老師。

  我認為萊布尼茲是一個值得我們效法的人,不僅僅只是他對科學上的貢獻,而是他的精神,在有限的生命中,他卻創造了不可思議的成就,許多人好幾輩子都無法企及的成就。尤其現在高三的我,剛好正在學習微積分的基礎,學了才知道微積分的偉大、才能真正體會萊布尼茲有多麼厲害,這也正是為什麼我選擇了他成為我這次的主題。我希望萊布尼茲一樣,在未來能對社會做出一些貢獻,這麼一來人生也不枉了。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

姓名:

班級:三年十二班

座號:36

指導老師:郭佳蓉

 



2013-05-01 14:02:30
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郭佳蓉

偉大的數學家介紹-------納許(John Nash)                              318  29   高培盛

 

l          生平

約翰.納許(John F.Nash),這個20世紀的傳奇人物,電影『美麗境界』的男主角,年輕時曾是光彩奪目的天才,歷經精神分裂,過了20餘年鬼魅式的生活,到晚年竟然奇蹟般地康復,到1994年才以20幾歲時發表的賽局理論論文得了諾貝爾經濟學獎。

1944
年,匈牙利裔的數學家,也是計算機的先驅馮諾曼(John Von Neumman)和普林斯頓經濟學者摩根斯坦(Oskar Morgenstern)合著一本書『賽局理論與經濟行為』,是賽局理論的開山之作。-> 一方有所得,則另一方必有所失的零和賽局理論(zero-sum game theory)因此確立。從此,賽局理論在經濟學界有廣泛的討論和應用。


但在此賽局中此零和模式在很多實際應用上相當地受限。像國際關係裡,國與國之間互相依存,既競爭又合作,這樣的非零和情勢引起相當廣泛的研究興趣。


囚犯的困境(Prisoners Dilemma)是典型的非零和競爭模型,經常被用在國際戰略的討論。但是在馮諾曼(John Von Neumman)與摩根斯坦(Oskar Morgenstern)於1944年所完成的賽局論中,對非零和賽局著墨不多,此種賽局中究竟應採何種均衡觀念,也尚無定論。


納許(John F.Nash)進入普林斯頓,很快就選擇這題目,他的博士論文就證明了在非零和的不合作賽局(nonzero-sum noncooperative game)中,一定有「均衡」解存在。只要對手的策略確定,競爭者就可以有最適反應(best response),納許(John F.Nash)定義:當一組策略是互為最適反應時,就是「納許均衡」(Nash Equilibrium)。


納許(John F.Nash)在1950年提出這個27頁有關完全訊息的靜態賽局的博士論文,年僅22歲,1958年,剛滿30歲的納許(John F.Nash),被【財星】雜誌(Fortune)稱譽為美國獨一無二的「新數學明星」。8月份數學界的桂冠「費爾茲獎」(Fields Medal)頒發,納許(John F.Nash)的期待卻落空了。從此,納許(John F.Nash)再沒有機會得到這當時每4年才頒發一次的獎項。就在這一年,「納許均衡」的建構者,崩潰了。


曾在他人眼中的天才,從此成為狂暴時要與外星人一同拯救世界、安靜時「再沒有什麼可引人之處了,只是獨自沉緬於往日榮耀」的精神病患者。往後的歲月中,他再寫不出光采四現的論文,甚至演講時不知所云,思緒斷裂。「均衡」在他的生命中,突然間,消失了。


經過長時間的治療,甚至進入精神療養院接受電擊和藥物控制,1960年代中期他出院重新回到生活的軌道上,開始發表論文,沒想到不多久,又發病。他臉上不再有表情,眼神空洞,妄想的幻覺似乎已燒盡他的生命力。


後來他回到他最熟悉的普林斯頓大學,由離了婚的前妻收留,他則在校園內遊蕩。學生眼中的納許成了神秘古怪的「魅影」、「圖書館的瘋狂天才」,經常在黑板上留下特殊的數學訊息。1978年,他終於得到一個數學獎:「馮諾曼理論獎」,與他同時獲獎的還有雷姆克(Carl Lemark),納許以賽局均衡獲獎,雷姆克(Carl Lemark)則以他對「納許均衡」的計算獲獎。納許卻未能受邀親赴華府參加頒獎。


納許到1980年代才慢慢恢復理性,像他這麼嚴重的病情,又經過這麼長的時間,居然能從迷亂的心牢中解放出來,也是一項奇蹟!

 

l          貢獻

納許提出的「納許均衡」,奠定了不合作賽局的理論基礎,是他的首要貢獻。賽局理論的誕生,要追溯到1944年普林斯頓大學馮紐曼與摩根斯坦教授發表的巨著《賽局理論與經濟行為》,但是他們對不合作賽局,並未提出一般性的分析。四年後,二十歲的納許到普林斯頓大學攻讀博士,很快選擇了這個具有挑戰性的題目,到1950年完成博士論文時才二十二歲。二十七頁的博士論文書寫著天才的璀璨光芒,為不合作賽局立下了宏偉的框架。

一言以蔽之,納許在二十七頁的博士論文中,為可能共同獲利的賽局創造了新的理論。他所提出嶄新的概念,讓我們能切斷「我猜他會這樣想我是那麼想他……」這樣永無止境的思維序列。其理論的內涵在於:當每個人都獨立選擇對應於其他人最佳策略的最好方法,則這類遊戲便能找到解答。

納許清楚看穿人類大部分的動機與行為──強調個人追求最大收益、最小損害的邏輯策略──不正是數千年來,命理研究者皓首窮經終其一生,而未必參得透所謂「趨吉避凶」的造命之道?──納許以此方式處理經濟競爭的問題,凸顯出來的是:非經中央控制的決策過程,也可以是有條有理、不紊亂的──如此將亞當、斯密「看不見的手」之隱喻,提升至更高妙、更精巧的境界。

筆者認為,「納許均衡」(強調個人追求最大收益、最小損害的邏輯策略)也罷,「趨吉避凶」也好,吾人一旦在命盤上,巧妙運用「虛擬實境」(太歲入卦)的程式,無論在合作賽局或不合作賽局中,若能「推己及人」並「知己知彼」──明瞭主客各方不同的時空條件(年次及其他),作為彼此互動虛實、強弱進退的決策依據──則必能在任何賽局和談判中,「無往不利」或「百戰不殆」了。

賽局理論經過近半世紀的掙扎,才逐漸成為經濟學、政治學等社會科學的主流,其中就牽涉到合作賽局理論,與不合作賽局理論之間的消長。合作賽局,依參賽者間形成的約定來分配利得,對此馮紐曼等人著力甚多;不合作賽局只允許個人的自利動機決定結果,任何約定一旦違反自利動機,便無法維持下去。經過多年的嘗試,不合作賽局理論在社會科學中應用日廣,到六十和七十年代,又推廣發展出動態和不完全訊息下的分析架構,舉凡寡占、拍賣、談判等經濟學議題,或是投票、限武、制憲等政治學議題,皆立基於納許提出的分析架構。多位賽局大師都公認:「納許均衡」是賽局中應用最廣的均衡觀念。

納許的第二個重要貢獻,是他提出的「納許談判解」。其實,這是他在寫博士論文前所發表的第一篇學術論文,在電影《美麗境界》中,他以此獲得了教授的肯定。談判問題,在經濟學中過去一直認為無法精確決定,但是納許引進新的看法,把談判看成一個合作賽局,用數學的公設法證明:在三個合理的公設下,談判問題一定有唯一「納許談判解」。他在19501953年分別發表了兩篇談判文章,這樣的結果與研究方法,對談判問題的影響甚為深遠。

第三個重要貢獻則是,在賽局文獻中,納許的名字也常和「納許綱領」同時出現,這是他對談判賽局所主張的研究方向。他認為,談判的背後牽涉到一連串討價還價的過程,應該放在一個更大的不合作賽局內分析,而合作賽局的「納許談判解」,可能由一個更大的不合作賽局支持,成為它的均衡結果。「納許綱領」引導了後來的研究,到1982年由普林斯頓大學的魯賓斯坦提出一個解答:如果談判雙方輪流出價,一連串不合作賽局所導出的均衡,可為「納許均衡」提供一個微觀基礎。經由「納許綱領」的引導,不合作賽局與合作賽局,可視為具有互補關係,為二者的關聯提供了更豐富的詮釋。

以上所提到的三方面貢獻,是納許在19501953年之間所作的研究。所發表的三篇簡潔的文章,一共不過三十頁,就為他贏得了諾貝爾經濟學獎。

納許在數學上的貢獻也相當卓著,他的心智運作也是一個典型的數學家。

    卡波爾對數學家的描述是:「所有的數學家都活在兩個不同的世界中。他們活在透明無瑕的柏拉圖境界,也生活在變化無常的殘酷現實中。數學家必須穿梭於這兩個世界之間,在透明無瑕的世界中他們是成熟的大人,但再現實世界中他們不過是個嬰孩。」我們在『美麗境界』這本書和電影裡都可以感受到納許對不斷創新的極度堅持。創造本身就必須堅持自己的獨特性,數學家的解題與藝術家的創作有極其相似之處,都浸淫於創作的狂歡與失望的痛苦中!

 

l          美麗境界電影介紹

「美麗境界」這部片子是在描述男主角約翰奈許,因為投入一項機密的解碼任務,所以他不停的解一大堆方程式、密碼,而長期沉浸在一個妄想的世界裡,然而他異常的行為舉止,最後被診斷為妄想性的精神分裂症。

        我覺得數理家本來就有超出一般人的思考,才能破解密碼、發現新的理論。奈許要在現實與幻覺中求生存,真的相當艱辛。影片中,奈許幻想自己有個室友,一個懂他的室友,他總是能在奈許處於困境時拉他一把的人,我覺得也許是奈許不懂得與人相處,因此漸漸遠離人群,封閉自己,但其實他心裡始終可望有一個了解他,甚至能和他分享心情的人。

         奈許的妻子艾莉莎,可以說是奈許一生中相當重要的人,我覺得她是一位非常偉大的女性,其實她可以拋下他,去追求屬於自己的人生,可是她並沒有,一輩子守護著奈許,直到兩人都白髮蒼蒼,況且奈許得的不是普通的病,甚至會傷害到他的妻子和兒子,但她始終沒有丟下他,一直陪在奈許的身旁,給他愛心及照護,可見親情的力量有多大。

         奈許發病後,被強制送入院治療,他一直說他沒有病,他還要回去工作,可是所有人都不相信他,他只好把自己所幻想的事情告訴艾莉莎,艾莉莎只是很難過都得跟他說:「你生病了。」影片裡,奈許挖開自己的手臂,口裡直說著:「不見了,他不見了。」看到這一幕,不禁讓人感到心疼,他是為了證明自己有被國家輸入數字晶片,自己說的都是真的,不惜傷害自己,我想,奈許是因為不被信任,所以才拼了命找證據,證明自己沒有病,那種無助感,是旁人無法體會的。

        有一次我在書上看到一篇文章,內容是寫說:很久以前,在一個國家裡,因為國王仁慈、開明,把國家治理的很好,所以百姓們都過著幸福快樂的日子。但是有一天,有一個巫婆在每個井裡都下了藥,全國上下的百姓都喝了井裡的水,大家都瘋了,只有國王和他身旁的大臣沒有喝,所以大家都說是國王瘋了,要推翻掉他。大臣們很著急,絞盡腦汁還是想不出有甚麼方法可以救大家,這時國王下了一道命令:「去把井裡的水拿過來,每個人都要給我喝下它。」大臣們很納悶,但也只能照做,連國王也喝了水,因此這整個國家的人民都瘋了,可是他們還是繼續他們快樂幸福的生活。為什麼故事的結局會這樣呢?我在想,這篇文章要告訴我們的是:並沒有誰瘋了或誰是正常的,他們只是生活在不同世界罷了。

         影片最後,來到了奈許得到了諾貝爾經濟學獎的這一幕,他說:「我一直相信數字、方程式、邏輯推理,一定有它的理由。我探討這個問題從肉體到精神,幻想再回來,才發現愛是無法靠正常的邏輯去推斷的……。」奈許曾經對艾莉莎說過:「你是我活下去唯一的理由。」這只是很短的幾句話,卻道盡了他對他太太的感謝,我想,艾莉莎多年來的辛苦、委屈、付出及包容,在這一刻裡,有了甜蜜的代價。

         奈許努力戰勝病魔的心是美麗的;艾莉莎包容、愛護奈許的心是美麗的。那種境界,很美麗。

l          讀後心得:

記得很久以前就看過美麗境界這齣膾炙人口的影集,讓我對約翰.納許油然生起敬佩之意,約翰納許真的是個天才,也許他的成就是許多人一輩子的夢,但天才的路不會比一般人平順。一個人20多歲時是天才,30多歲時成了瘋子卻又奇蹟的康復,甚至在66歲榮獲諾貝爾獎。他的毅力和熱誠才是發揮它天賦的最重要因素奈許74歲了仍孜孜不倦的研究。他說:「從統計學看來,任何一個已經66歲的數學家或科學家都不可能通過持續的研究工作,在以前的成就基礎上更進一步;但是,我仍然繼續努力嘗試。」儘管奈許獲得1994年諾貝爾經濟學獎,但他依然認為自己是個研究純數學的數學家:「純粹的數學是美麗的。」所謂天才或者瘋子的主角帶給我的思維遠遠超過我的小腦袋所能理解,我本來以為每個人都一樣,你能理解的我一定也行,但隨著年齡的增長和歷練,我知道,我錯了!大家真的有太多的不一樣,學習包容和體諒才是與人互動的道理。現在打這篇心得的同時我也了解到究竟有極限,每個人都有它的使命和位置,過度的強求只圖增煩憂,甚至發瘋!但竭盡所能發展自己的興趣和天賦又是我們一輩子應該做的,而且也是樂此不疲的。看似矛盾卻又人人皆知的道理,那是納許的人生給我勇敢面對生命的最好證明。

 

318高培盛

2013-05-01 15:11:25
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郭佳蓉

代數之父----穆罕默德.花拉子米

 

一、生平

     花拉子米 (al-Khwarizmi) 生卒年月大約在西元 780 年到 850 年左右。他出生時,由 Harunal-Rashid 擔任 Abbasid 朝代的第五位哈理發,他為朝廷帶來了文化並且嘗試建立當時阿拉伯世界沒有蓬勃發展的智力學科。西元 809 Harun 死時,他的二個兒子年輕的 al-Mamun 及年長 al-Amin,兩兄弟之間發生了武力衝突,al-Amin 813 年時被 Al-Mamun 擊敗並且被殺害了,在此以後,

al-Mamun 統治了帝國。

     Al-Mamun 繼續他父親的遺願,資助各類學會,且建立一所學院叫智慧宮 (House of Wisdom),其中不但對希臘哲學和科學工作做翻譯,同時也建立手稿圖書館,可說是 Alexandria(亞歷山卓)後至Byzantium(拜占廷)前進行收集重要工作的第一個主要圖書館。除智慧議院外,Al-Mamun 另設置回教天文學家工作的觀測所。

     花拉子米在智慧宮從事希臘科學原稿的翻譯,同時進行有關代數、幾何和天文學習和寫作,同時有兩本著作傳世:《代數學》、《印度計演算法》

 

二、《代數學》

     代數學的內容和方法是自古以來逐漸形成的.早在古埃及阿默士的紙草書中就已經出現屬於一元一次方程的問題。巴比倫人也知道某些二次方程的解法.在漢穆拉比時代的泥板中巳有二次方程的問題,從中可以看出從算術到代數的過渡,代數學在希臘時代得到重大發展本書一開始介紹代數的範圍,利用代數解決當時幾乎是日常生活的一部分的真實問題,讓大家意識到這本書的高度實用性,接著使用大家熟悉的方式介紹自然數。第二部分是關於一﹑二次方程的解法﹐在代數概念已經掌握一個未知數的一次和二次方程式理論(即如何解一元一次方程式與一元二次方程式)以及二項式、三項式相關的基本算術,他首次給出二次方程的一般解法,掌握一般可以計算與找出解答的基本型,並對解方程式的方式採取了代數及幾何兩種方法,在此,代數能看作對等式(方程式)的理論解決,其中幾何證明造成之後專家對花拉子米是否熟悉歐幾里得的《幾何原本》持正反兩種不同見解。第三部分是實用測量術﹐包括許多應用數學及和工作上的例子,並找出固定區域的面積如圓,並且發現如球形、錐體和金字塔的體積

 

三、《印度計演算法》

     文中闡述現代數學中的演算法(algorithm) 是從他的書中的標題轉換而來,書中介紹印度位值系統根據 12 3 4 5 6 7 8 9 0 等數字的位置,並提供算術演算的方法,及發現方根的方法等,同時花拉子米是第一個將零放在位置上標示的位置基數記數法。不僅如此,在當時他也是個著名的天文學家,他編成的天文表曾在阿拉伯國家長期流行,譯成拉丁文之後曾被用作編製《托勒密天文表》的依據,也為 2402 個地點給出緯度和經度來作為世界地圖的依據,其中包括回教的地區,非洲,及遠東。他也寫了包含著名人的占星政治歷史。

 

四、運算方式

    1. 正方形相等於根,二次項與一次項在等號的兩邊。如 ax

    2. 正方形相等於數字,二次項與常數項在等號的兩邊。如 a

    3. 根相等於數字。一次項與常數項在等號的兩邊。如 xa

    4. 正方形和根同一邊並相等於數字;二次項與一次項在等號的同

       邊;常數項則在另一邊。如

    5. 正方形和數字相等於根; 二次項與常數項在等號的同邊;一次項

       則在另一邊。 如

    6. 根和數字相等於正方形; 常數項與一次項在常數的同邊;二次項

       則在等號另一邊。如

五、結論

     綜合以上所述,花拉子米的確有資格被稱為「代數之父」。不僅如此,他也綜合了算術和代數的古老工作以及來自東方與西方的數學知識。在算術上,他首先介紹了印度-阿拉伯數碼 (Hindu-Arabian numeral) 給歐洲,將算法符號化。在其他方面,他也廣泛涉略天文學、地理、歷史等範疇,以下就天文學作介紹:花拉子米承接其印度及希臘先輩,對日晷的理論和結構作出了幾個重要的改進,他的日晷可廣泛通用,可從地球上任何一個角落進行測量。此後,清真寺常設有日晷,以判量禮拜的時間。用以測量物件垂直高度的方體及用作角度測量的照準儀都是花拉子米在九世紀的巴格達發明的。

     由此可知,花拉子米不僅是代數之父,他更可多方顧及各項自己的興趣並專研於其中,或許,我們無法和他一樣發展出什麼偉大的理論,但他那對事情熱衷的態度是值得我們效法的。

 

 

                                 310-30  曹宇翔  2013.04.28



2013-05-02 09:36:54
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郭佳蓉

數學家-近代哲學之父:笛卡兒

 

生平:笛卡兒1596331生於法國圖爾Touraine)附近的拉海鎮La Haye,現名拉海—笛卡兒鎮)。八歲時,笛卡兒被送到Anjou的耶穌會學校La Fleche。由於他纖弱的體質,使得習慣於沈溺床上直到正午,他常利用這段時刻作思考,這種晚起的習慣一直持續到他的晚年。

       1612年,他到巴黎普瓦捷大學供讀法律,四年後獲頒博士學位,並成為律師。

       1617年,笛卡兒荷蘭加入Orange公爵的軍隊。一日因緣際會,他閒步荷蘭Bred的街頭,順利解決廣告上的一道數學挑戰難題,使他相信自己具有數學天份,而開始在這個領域認真地鑽研。

16191110在軍中的一個夢,使他悟得眾多科目中能建立真理的方法那就是數學方法。他說:數學是人類知識活動留下來,最具威力的知識工具,是一些現象的根源。

       1621年,笛卡兒脫離軍隊返法,但適逢內亂,於是遊歷於丹麥德國意大利等地。直至1625年才返回法國,與梅森等人一起研討數學。

       1628,他覺得巴黎塵囂過甚,移居荷蘭在那裡住了二十多年,他所有著作幾乎全是在荷蘭完成的。

       1637年以法文寫成的《方法論》,附設三短論及一篇序言分別為:《折光學》、《氣象學》、《幾何學》及《科學中正確運用理性和追求真理的方法論》。當中以La Ge`ome`trie《幾何學》為代表作,是他唯一的數學論著,也是解析幾何的精華所在,後世數學史家把它當作解析幾何的起點。全書共分三卷,內容分析了幾何學與代數學的優劣,表示要尋求另一種包含兩者好處而沒有兩者劣處的方法。

重要事蹟:笛卡兒介 紹了直角坐標系,為了表揚他的貢獻,直角坐標系也稱為「笛卡兒坐標系」。傳說,當他躺在床上,觀察一隻蒼蠅在天花板上爬動時,想出了笛卡兒坐標系。他注意到,若他知道蒼蠅至每一面牆的距離,便可以描述蒼蠅的路徑。這個坐標系的想法將數學的兩大分支:代數與幾何聯結在一起。解析幾何,一方面幾何觀念用代數解釋,幾何目的由代數完成;另一方面,代數透過幾何的直觀,可以更容易發現誘導出新的結果。正如Lagrange所說:「代數與幾何各自行動時,既繁且慢,應用又狹;一旦聯手,則快速而趨於完美。」,兩者相輔相成。笛卡兒把變量的概念引進了數學,用代數中的數來刻畫幾何中的點,把幾何曲線理解為動點運動的軌跡,而運動著的點又可以用一系列變化著的數來刻畫,於是,"運動進入了數學""辯證法進入了數學"

心得感想:

  談到笛卡兒,很多人都知道他最有名的一句話:「我思故我在」或是「我只要求安靜與靜臥」,其他的印象卻少之又少。從高一甚至早在國中,直角座標系一直都是幾何與代數的解題利器,也許很多人都會認為直角座標系上的X軸與Y軸不過是兩條相交的線而已,但事情可沒那麼簡單,此兩條限再加上一個原點,可是直到十六世紀才出現。也因為出現了直角座標系,在幾何解析上給了科學家們新的視野。到了今日,打開書學講義的時候,在微積分的單元中,實在很難想像沒有直角座標系的輔助,我們會在原地打轉多久?

  除了直角座標系外,重新制定的代數符號更是功不可沒,在笛卡兒提出新的代數符號之前,一般科學家都是用韋達所定的符號,但韋達符號雖稱不上非常複雜,但也不是一下子就能搞懂。笛卡兒就是因為這個原因,所以才訂出了現在為人所熟悉的XYZ代數。沒錯,笛卡兒的貢獻是如此之大,雖不像牛頓、高斯那般的聞名(在數學方面上),但不可否認的是,沒有了笛卡兒的幾何與代數的發明與重新定義。牛頓或高斯,甚至其他數學家的諸多著作數量可就要大打折扣了。

  難怪拉格朗日會說:「代數與幾何各自行動時,既繁且慢,應用又狹;一旦聯手,則快速而趨於完美。」

  笛卡兒把變量的概念引進了數學,用代數中的數來刻畫幾何中的點,把幾何曲線理解為動點運動的軌跡,而運動著的點又可以用一系列變化著的數來刻畫,於是,"運動進入了數學""辯證法進入了數學"

31216王泓理

 


2013-05-02 17:16:27
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郭佳蓉


數學家 31013顏婉如.pdf 2013-05-06 14:14:29
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郭佳蓉

數學成績最爛的數學大師──埃爾米特

他是十九世紀最偉大的代數幾何學家,

但是他大學入學考試重考了五次,

每次失敗的原因都是

數學考不好。

他的大學讀到幾乎畢不了業,

每次考不好都是為了

數學那一科。

他大學畢業後考不上任何研究所,

因為考不好的科目還是──

數學。

數學是他一生的至愛,但是

數學考試是他一生的惡夢。

不過這無法改變他的偉大:

課本上「共軛矩陣」是他先提出來的,

人類一千多年來解不出「五次方程式的通解」,

是他先解出來的。

自然對數的「超越數性質」,

全世界,他是第一個證明出來的人。

他的一生證明

「一個不會考試的人,仍然能有勝出的人生」,

並且更奇妙的是

不會考試成為他一生的祝福。

怎麼會這樣呢?

嗯……也許能在本文中找到答案喔!

翻開歐洲的地圖,在法國的東北角嵌著一塊小小的版圖,名叫洛林(Lorraine)

這個地方自古以來就是兵家必爭之地,因為北扼萊茵河口,南由馬恩河(Marne

River)可以直搗巴黎;瀕臨的阿登高地(Ardennes)是軍事制高點;地層中蘊藏

歐洲最大的鐵礦。早在神聖羅馬帝國時代,洛林草場上就染滿騎士的鮮血;

1871年德國的鐵血雄兵蹂躪法國後,要求法國割讓的土地就是洛林。

革命家的血統

經過百年來戰爭的洗禮,洛林留下來的是一批苦幹、達觀的法國人,足能面

對環境的苦難。埃爾米特(Charles Hermite)18221224日出生在洛林的小村

Dieuge,他的父祖輩都參與了法國大革命,祖父被大革命後的極端政治團

體巴黎公社(Commune)逮捕,後來死於獄中;有些親人死在斷頭台上;他的

父親是傑出的冶礦工程師,因為被公社通緝,逃到法國邊界的洛林小村莊,

在一家鐵礦場中隱姓埋名做礦工。

鐵礦場的主人叫雷利曼(Lallemand),一個標準強悍的洛林人,有一個比他更

強悍的女兒瑪德琳(Madeleine)。在那個保守的時代,瑪德琳就以「敢在戶外

穿長褲不穿裙子」而著名,兇悍地管理礦工。但是一遇到這位巴黎來的工

程師,她就軟化了,明知對方是死刑通緝犯還是嫁給他,而且為他生了七

個孩子。

埃爾米特在七個孩子中排名第五,生下來右腳就殘障,需扶枴杖行走。他身

上一半流著父親優秀聰明、理想奮鬥的血液,一半流著母親敢作敢為、敢愛

敢恨的洛林強悍血統,譜成不凡生涯的第一個升記號。

數學課本垃圾論

埃爾米特從小就是個問題學生,上課時老愛找老師辯論,尤其是一些基本的

問題。

他尤其痛恨考試;後來寫道:「學問像大海,考試像魚鉤,老師老要把魚掛

在魚鉤上,教魚怎麼能在大海中學會自由、平衡的游泳?」

老師看他考不好,就用木條打他的腳,他恨死了;後來寫道:「達到教育的

目的是用頭腦,又不是用腳,打腳有什麼用?打腳可以使人頭腦更聰明嗎?」

他的數學考得特別差,主要原因是他的數學特別好;他講的話更讓數學老師

抓狂,他說:「數學課本是一灘臭水,是一堆垃圾。數學成績好的人,都是

一些二流頭腦的人,因為他們只懂搬垃圾。」他自命為一流的科學狂人。不

過他講的也沒錯,歷史上最偉大的數學家大多是文學、外交、工程、軍事等,

與數學不相干科系出身的。

埃爾米特花許多時間去看數學大師,如牛頓、高斯的原著,他認為在那裡才

能找到「數學的美,是回到基本點的辯論,那裡才能飲到數學興奮的源頭。」

他在年老時,回顧少年時的輕狂,寫道:「傳統的數學教育,要學生按部就

班地,一步一步地學習,訓練學生把數學應用到工程或商業上,因此,不重

啟發學生的開創性。但是數學有它本身抽象邏輯的美,例如在解決多次方方

程式裡,根的存在本身就是一種美感。數學存在的價值,不只是為了生活上

的應用,也不應淪為供工程、商業應用的工具。數學的突破仍需要不斷地去

突破現有格局。」

孝順的天才

埃爾米特的表現讓父母憂心,父母但求他能把書唸好,再多的錢也願意付出,

就把他送到巴黎的「路易大帝中學」(Louis-le-Grand)。因著超卓的數學天份,

他無法把自己塞入數學教育的窠臼,但是為了順父母的意,又必須每天面對

那些細微繁瑣的計算,以致痛苦得不得了。這位孝順的天才,似乎註定終生

的自我折磨。

巴黎綜合工科技術學院(Polytechnique)入學考每年舉行兩次,他從十八歲開始

參加,考到第五次才以吊車尾的成績通過。其間他幾乎要放棄時,遇到一位

數學老師李察(Richard)。李察老師對埃爾米特說:「我相信你是自拉格朗日

(Lagrange)以來的第二位數學天才。」

拉格朗日被稱為數學界的貝多芬,他所作的求根近似解被譽為「數學之詩」。

但是埃爾米特光有天份不夠,李察老師說:「你需要有上帝的恩典,與完成

學業的堅持,才不會被你認為垃圾的傳統教育犧牲掉。」因此他一次又一次

地落榜,卻仍繼續堅持應試。

騎在蝸牛背上的人

埃爾米特進技術學院唸了一年以後,法國教育當局忽然下一道命令:「肢障

者不得進入工科學系」,埃爾米特只好轉到文學系。

文學系裡的數學已經容易很多了,結果他的數學還是不及格。有趣的是,他

同時在法國的數學研究期刊「純數學與應用數學雜誌」發表「五次方方程式

解的思索」,震驚了數學界。

在人類歷史上,第三世紀的希臘數學家就發現一次方程與二次方程的解法,

之後,多少一流數學家埋首苦思四次方程以上到n次方的解法,始終不得其

解。沒想到三百年後,一個文學系的學生,一個數學常考不及格的學生,竟

然提出正確的解法。

埃爾米特知道自己已經「對數學的開創性研究中毒很深,熱愛得無法自拔」,

幸得好朋友勃特倫(Bertrand)趕忙幫他補習學校要考的數學。對這一個具有開

創性的天才,僵化的數學教育帶來無邊的苦難;惟有友誼的瞭解與鼓勵能夠

支持他走下去,並使他在二十四歲時,能以及格邊緣的成績自大學畢業。

由於不會應付考試,無法繼續升學,他只好找所學校做個批改學生作業的助

教。這份助教工作,做了幾乎二十五年,僅管他這二十五年中發表了代數連

分數理論、函數論、方程論……已經名滿天下,數學程度遠超過當時所有大

學的教授,但是不會考試,沒有高等學位的埃爾米特,只能繼續批改學生作

業。社會現實對他就是這麼殘忍、愚昧。

不考試的老師

能夠使埃爾米特不憤世嫉俗、坦然前行的動力是什麼?

有三個重要的因素,一是妻子的瞭解與同心。埃爾米特的妻子,是他大學好

友勃特倫的妹妹,她無怨無悔地跟隨這個不會考試的天才丈夫,一年一年地

走下去。

二是有人真正地讚賞他,不因他外表的殘廢與沒有耀人的學位而輕視他。欣

賞他的人後來也都在數學界享有盛名──包括研究無窮級數收斂、發散與微

分方程式而著名的柯西(Cauchy),發表橢圓函數、行列式理論而著名的雅科

(Jacobi),「純數學與應用數學雜誌」的主編劉維爾(Liouville)。這些都是行

家,而來自真正行家的惺惺相惜,比考試高分的一點虛偽榮耀,更能支助一

個失敗者走較遠的路。

三是埃爾米特的信仰。埃爾米特在四十三歲時染患一場大病,柯西來看他,

並且把福音傳給他。信仰給他另一種價值與滿足。

  1. 埃爾米特在四十九歲時,巴黎大學才請他去擔任教授。此後的二十
  2. 五年,幾乎整個法國的大數學家都出自他的門下。我們無從得知他
  3. 在課堂上的授課方式,但是有一件事情是可以確定的──沒有考試。

三角幾何裡認識另一個世界

不會考試給他帶來許多麻煩:工作不順利、多次重考、他人的輕視、自卑

…。但是給他帶來許多祝福:認識妻子、好友、信仰,與整個生命的成熟。

後來美國加州理工學院數學系的教授貝爾(Bell),在他對歷史上數學偉人的

回顧上,用一段話描述埃爾米特:

「在歷史上的數學家愈是天才,愈是好譏誚,講話愈多嘲諷。只有一個人

例外,就是埃爾米特,他有真正完美的人格。」

埃爾米特死於190114日。晚年寫道:

「三角幾何是永恆、是不朽的。自然界裡沒有任何一個東西是絕對的三角形,

但是在人的腦中卻存在著完美、絕對的三角形,去衡量外面的形形狀狀。

沒有人知道為什麼三角的總和就是180°,沒有人知道為什麼三角的最長斜

邊對應最大角。這些三角幾何的基本特性,不是人去發明出來或想像出來的,

而是人在懵懂無知的時候,這些三角特性就存在,並且無論時空如何改變,

這些特性也不會改變。我只不過是一個無意中發現這些特性的人。

三角幾何的存在,證明有一永久不改變的世界存在。」

 

 

 

 

 

 

心得:雖然不知道埃爾米特是真的不擅於考試還是不想因為考試而去應付它,但看到這讓我有了些感觸,我有時候也喜歡思考一些數學的問題,而也會覺得讀數學而感到開心跟快樂,但考試下來總是不盡人意,不是粗心不然就是思考錯了方向,或許看了這位數學家的事蹟可以讓我更有自信,原來考試考不好並不代表自己能力不好或者沒這方面的才能,而是因為考試跟做學問本就不同所以也會有所分別,這能讓我重拾信心,並且努力去接受之後的一切挑戰,並且覺得算數學思考數學是件令人快樂的事。

 

31228馬魁呈

2013-05-08 11:30:42
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郭佳蓉

  尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金

 Julius Wilhelm Richard Dedekind 1831—1916

又譯狄德金,最偉大的德國數學家、理論家和教育家,近代抽象數學的先驅。

 

 

  1831106生於德國下薩克森州東部城市瑞克,為知識分子家庭。父親為法學教授,母親亦出身于知識分子家庭。

 

生涯歷程:

 

早年在不倫瑞克大学預科學習化學和物理。

 

1848年入卡羅莱纳學院攻力學、微積分、代數分析、解析幾何和自然科學。

 

1850年轉入哥廷根大學新辦的數學和物理學研習班,從數學家高斯研究最小二乘法和高等測量學,從斯特恩攻數論基礎,從夷伯攻物理,並選修過天文學。

 

1852年以題為《關於積分的理論》一論文獲得哲學博士學位。畢業後留校任代課講師。

 

1855年高斯去世後,戴德金在格丁根大學又先後聽過狄利克雷教授的數論、位勢力理論、定績分和偏微分方程,以及波恩哈德·黎曼教授的阿貝爾函数和橢圓函數等課程,進而萌生了借助於算術性質来重新定義無理數的想法

 

1856年起,他開始講授伽羅瓦理論,成为教壇上最早涉足這一領域的學者。

 

18581862年在蘇黎世综合工業學院任教授。此間主要進行實數理論基礎的研究。

 

18621912年任不倫瑞克高等技術學校教授,在那發展了有理數和無理數可以構成一個(無空隙的)實数的連續系统,前提是實数和直線上的點有著一對應的關係。並先後當選為法國科學院、柏林科學院和羅馬科學院院士。

 

1888年,戴德金提出了算術公理的完整系统,其中包括完全數學歸納法原理的準確表達方式,把印象的許多概念用最普通的形式引入數學中。此外,他還研究了結構理論的基礎,使之成為現代代數的中心分支之一。

現今數學上的許多命题和術語,如環、場、結構、截面、函數、定理、互換原理等,都是與他的名字連繫在一起的。

 

他於1916212在不倫瑞克去世。儘管他的關於數學基本理論的許多重要思想在他生前並未被人們充分認識,但仍然影響著現代數學的發展。

 

成就:

 

  戴德金的主要成就是在代數理論方面。他研究任意域、環、群、結構及模等問題,並在授課時率先引入了環(域)的概念,並给理想子環下了一般定義,提出了能和自己的真子集建立一對應的集合是無窮集的思想。在研究理想子環理論過程中,他將序集(置換群)的概念用抽象群的概念来取代,並且用一種比較普通的公式(戴德金分割概念)表示出来,比康托爾的公式要簡化得多,並直接影響了後来皮亞諾的自然數公理的誕生。是最早對實數理論提出了許多論據的數學家之一。 

  戴德金在數學上有很多新發現。不少概念和定理以他的名字命名。他的主要貢獻有以下兩個方面:在和連續性理論方面,他提出戴德金分割,給出了無理數及連續性的纯算術的定義。1872年,他的《連續性與無理数》出版,使他與G.康托爾K.斯特拉斯等一起成為现代實數理論的奠基人。在代數數論方面,他建立了现代代數和代數數域的理論,將E.E.庫默爾理想數加以推廣,引出了現代的理想概念,並得到了代數整數環上理想的唯一分解定理。今天把滿足理想唯一分解條件的整環稱為戴德金整環。他在數論上的貢獻對19世纪數學產生了深刻影響。

 

 

 

 

312 30號 張倍豪



2013-05-08 11:32:41
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郭佳蓉

斯里尼瓦瑟·拉馬努金

生平:他是印度歷史上最著名的數學家之一。沒受過正規的高等數學教育,沉迷數論,尤愛牽涉π質數數學常數的求和公式,以及整數分拆。慣以直覺(或者是跳步)導出公式,不喜作證明(事後往往證明他是對的)。拉瑪奴江被稱為數學的預言家。他留下的那些沒有証明的公式,引發了後來的大量研究。1997,《拉馬努金期刊》(Ramanujan Journal)創刊,用以發表有關「受到拉馬努金影響的數學領域」的研究論文。

11歲時,他已經掌握了住在他家的房客的數學知識,他們是政府大學的學生,到13歲,他就掌握了借來的高等三角學的書里的知識。他的傳記作家稱他的天才在14歲時開始顯露。

他那時的同校的人後來回憶說:「我們,包括老師,很少可以理解他,並對他『敬而遠之』」。

數學成就

在數學上,有洞察力和有一個證明是很不相同的。拉馬努金天才的給出了大量的公式,可以再深入研究,開啟了新的研究方向。這些公式的例子有圓周率的一些引人入勝的無窮級數,其中一個是:

這和如下事實相關:

他提出對所有 θ

此處Γ(z)代表伽傌函數

比較恆等式兩邊θ之不同冪的係數,就可以得出雙曲正割的許多恆等式。


哈代這樣評論拉馬努金:

他的知識的缺陷和它的深刻一樣令人吃驚。這是一個能夠發現模方程和定理的人……直到前所未聞的地步,他對連分數的掌握……超出了世界上任何一個數學家,他自己發現了ζ函數的泛函方程和解析數論中的很多著名問題的主導項;但他卻沒有聽說過雙周期函數或者柯西定理,對複變函數只有最模糊的概念…

 

 

 

 

定理和發現

這些包括拉馬努金自己的發現,和那些在和哈代的合作中發展和證明的定理

他也在下列領域做出重大突破和發現:

參考資料http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%96%AF%E9%87%8C%E5%B0%BC%E7%93%A6%E7%91%9F%C2%B7%E6%8B%89%E9%A9%AC%E5%8A%AA%E9%87%91

心得他對原始數學的兩個分支所做的研究是使我們對數學有更深一步的認識,令人驚訝的是,他竟然沒有受過高等教育,這是許多大數學家所忘塵莫急的。

他以直覺寫出公式,並且被證明是正確的,這就像這些公式已被深深刻在他的腦子中。身為一個沒落的貧窮婆羅門家庭的小孩,他無法接受大學教育,但靠著自學及艱苦鑽研數學,而擁有如此大的成就,也讓之後的年輕學子把他當作一個激勵並追隨的目標。我認為越高深的數學所需要的天份、基礎和專注就越多,但在這講求多元學習的社會中,很難一心一意鑽研某一個科目,但我相信我會盡最大努力去彌補我的不足。

31241廖韋翔



2013-05-08 11:34:22
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郭佳蓉

談到中國古代數學家,人們首先想到祖沖之。祖沖之將圓周率精確到八位有效數字,徹底解決求體積問題,這些傑出成就早已蜚聲中外。可是,祖沖之父子的著作早已失傳,僅存的成果,都是劉徽開其先河。流揮在我國首創圓周率的科學計算程序,才有祖沖之的計算結果。劉徽設計了牟合方蓋,指出了徹底解決求體積的正確途徑。由於種種原因,國人對劉徽瞭解較少,長期以來,他基本上是數學史界所熟悉,數學界和歷史界偶而才提到的人物,這與他在中國科學史上的實際地位是極不相稱的。

 

成書於漢代的"九章算術"是中國古代最重要的數學經典。他的數學方法,成就和形式對中國和東方數學產生了深遠的影響,並且標誌著世界數學研究中心從地中海東部沿岸的古希臘轉移到了太平洋東岸的華夏大地。劉徽全面證明了九章算術的公式解法,彌補了九章算術的不足,在數學方法,數學理論上貢獻卓著,奠定了中國古代數學的理論基礎。"九章算術注"是中國古代最偉大的數學家為最重要的數學著作所做的注。吳文俊先生說:"從對數學貢獻的角度來衡量,劉徽應該與歐基里得,等相提並論。"劉徽是當之無愧的數學泰斗。《九章算術》﹝約公元50-100年﹞《九章算術》的成書年代名家各說不一,約在公元50至100年間,書中系統地總結了戰國、秦、漢以來的數學成就,共收集了246個數學的應用問題和各個問題的解法,列為九章,可能是所有中國數學著作中影響最大的一部。第一章,「方田」:

 

平面圖形面積的量法及算法,如矩形、三角形、圓、弧形、環形等的田地的求積公式,及分數算法,包括加減乘除法、約分﹝將分母,分子用輾轉相除法求出它的最大公約數再作約分﹞、分數大小的比較及求幾個分數的算術平均數等。第二章,「粟米」: 各種糧食交換之間的計算,討論比例算法。 第三章,「衰分」: 比例分配問題。 第四章,「少廣」: 多位數開平方,開立方的法則。 第五章,「商功」:立體形體積的計算。 第六章,「均輸」:

 

處理行程和合理解決徵稅的問題,尤其是與人民從本地運送穀物到京城交稅所需的時間有關的問題,還有一些與按人口徵稅有關的問題,其中還夾雜著衰分、比例及各種雜題。第七章,「盈不足」:

 

算術中的盈虧問題的算法,實際上就是現在的線性插值法,它還有許多名稱,如試位法、夾叉求零點、雙假設法等。第八章,「方程」:

 

有關一次方程組的內容,最後還有不定方程。將方程組的系數和常數項用算籌擺成「方程」,這是《九章算術》中解多一次方程組的方法,而整個消元過程則相當於代數中的線性變換。在方程章裏提出了正負數的不同表示法和正負數的加減法則。第九章,「勾股」: 專門討論用勾股定理解決應用問題的方法。 《九章算術》的出現,標誌著我國古代數學體系的正式確立,當中有以下的一些特點:1.是一個應用數學體系,全書表述為應用問題集的形式;2.以算法為主要內容,全書以問、答、術構成,是主要需闡述的內容;3.以算籌為工具。 《九章算術》取得了多方面的數學成就,包括:分數運算、比例問題、雙設法、一些面積、體積計算、一次方程組解法、負數概念的引入及負數加減法則、開平方、開立方、一般二次方程解法等。《九章算術》的思想方法對我國古代數學產生了巨大的影響。自隋唐之際,《九章算術》已傳入朝鮮、日本,現在更被譯成多種文字。 «九章算術 »是研究我國古代數學的一部重耍經典,它匯集了秦漢時期數學家的智慧 。至三國時期(約公元263 年)劉徽撰寫及詳釋«九章算術 »,成了流傳至今的版本。«九章算術 »內容用問題形式編寫,共收錄了246 道數學應用題,大多是有關人民的社會生活,包括生產、經濟、政治等方面。

 

內容簡介

 

章目 名稱 內 容

 

第一章 方田章 各種形狀田畝面積的計算

 

第二章 粟米章 各種榖物的比例交換問題

 

第三章 衰分章 比例分配問題

 

第四章 少廣章 講述平方、開立方、開立圓問題

 

第五章 商功章 講述土木工程及立體體積的數學問題

 

第六章 均輸章 按人口、路程距離、物價等計算捐稅徭役問題

 

第七章 盈不足章 用"盈不足術"方法分解有關營商問題

 

第八章 方程章 介紹線性方程組的解法,其中涉及正負數概念及計算

 

第九章 勾股章 勾股定理應用題及二次方程的解法

 

世界之最

 

1. 最早有系統地敘述分數約分、通分和四則運算法則。

 

2. 最早提出正、負數的概念,並有系統地敘述正負數的加減法則。

 

3. 最早提出"盈不足術" 化解方程。

 

4. 最早提出聯立一次方程的概念,並用算籌記數及"遍乘直除"的方法變換,求出方程的解。

 

算經十書 »匯集了我國從秦漢到初唐的七、八百年間數學成就的大成。初唐時(約公元650年)唐高宗敕令議大夫李淳風等審定及注釋歷代的十部數學著作,作為國子監算學館的教科書及科舉考試數學命題範圍。後世統稱此十部典籍為 «算經十書 »

 

內容簡介

 

章目 名稱 時代

 

一 周髀算經 約公元前100年編定

 

匯集了周秦至西漢間天文學的研究學術成果。三國時,數學家趙爽注《周髀算經》。

 

二 九章算術 秦漢時期 匯集秦漢時期數學家們的數學研究成就。三國魏晉時(約公元263年)劉徽編《九章算術注》。

 

三 海島算經 三國曹魏時 三國時劉徽注《九章算術》,附錄"重差術",至唐代抽出作單行本。

 

四 綴術 (己失傳) 南北朝(約公元500年) 袓沖之父子

 

五 孫子算經 南北朝 作者不詳,本書有系統地論述我國古代十進位制的算籌記數方法。

 

 

緝古算經 初唐 王考通撰

 

七 張邱建算經 南北朝 張邱建撰

 

八 夏侯陽算經 隋朝 夏侯陽撰

 

九 五曹算經 北周 沒撰人名氏,唐書藝文志有甄鸞、韓延、李淳風注。

 

十 五經算術 北周 甄鸞撰,唐李淳風注。

 

九章算術是最古老的中國數學書,作者不詳,其編纂年代大約在東漢初期,全書收集了二百四十六個應用問題的解法,分別隸屬於方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股等九章。其中大部分章節的解題方法,均在先秦以前就已發展出來。九章算術的注釋有魏晉時人劉徽的注釋及唐李淳風的注釋。

 

資料來源:http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1005030706014

心得:

        我看的這篇文章其實不只是在談論劉徽這名偉大的數學家,也同時在探討中國數學的起源。

        《算經十書》十本中國最早最具地位的數學專論,古代的人因為要生活要用到數學,因此發明了許多方法和所謂的經驗談,像《九章算術》裡第一章方田章,因為生活需要丈量土地,需要分封,所以人們衍生出了算土地大小的一套又一套的方法,於是久而久之便成了方田章。但是,曾幾何時,我們每個人都學數學,但是真的在生活上會用到的數學早在國小就已經學完了,我們到底是為了甚麼而學數學,沒有考試在後面逼著會自己讀數學的人有幾個,而一直到長大會繼著這些東西的人又有幾個?我們是為了考試而數學還是為了生活而數學?大部人在學習的出發點就已經錯誤,又怎能真的參透數學呢?古代的數學家之所以偉大是因為大家都必須用他的理論來生活,現在的數學家發明了甚麼再新的公式、方程式,也都只是讓物理化學這些科目更上一層樓的工具,說真的真的有誰會去記得一個新的物理論裡一個算式的發明人呢?現在的數學家真的很可憐,所以讀數學的人真的很偉大,數學為各科的工具,是各科的母親,但成名的是孩子,自己卻成為成功背後的影子,只有在搜尋維基百科時才會跳出一堆連結。

        雖然知道題目是一個數學家的故事,但是大家都說一個數學家,再怎麼不同也一定會重複吧?只是上課的時候我就有一個問題,為甚麼提到數學家就怎麼絞盡腦汁想到的都是古代人,難道現代沒有數學家嗎?想了很久才得出這個結論,當然也不一定是對的,只是純粹個人見解。

        最後,真的覺得數學家很辛苦,非常感謝那些默默付出的數學家。

 

31828高培淳


2013-05-09 09:37:55
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郭佳蓉


大衛.doc 2013-05-09 09:59:58
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數學家的故事31203 吳欣蓓.pdf 2013-05-09 10:16:06
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郭佳蓉
郭佳蓉

拉瑪奴江

  19621222日印度發行弓一張紀念郵票。這張郵票是為紀念印度的「國寶」錫里尼哇沙拉瑪奴江(Srinivasa Ramanujan)誕生七十五週年而發行的。

  拉瑪奴江是一個生於南印度沒落的貧窮婆羅門家庭,沒有受過大學育,靠自學及艱苦鑽研數學,後來成為一個聞名國際的數學家。

  在數學家中,以貧窮家庭出身,而且能在沒有研究數學的環境裏,孤獨的工作,發現了一些深入的結果的人是不太多。他到了二十七歲時才獲得真正數學家的教導,他的才華像彗星突然出現長空,耀眼令人側目。可惜的是肺病卻蠶食了他的生命,他在三十三歲時悄然逝去。

  他是淡米爾人,生於18871222日,父親是一間布店裏的小職員。小時候他大部份的時間是在祖母家裏度過。從小他就喜歡思考問題,曾問老師在天空閃耀的星座的距離,以及地球赤道的長度。在十二歲時始對數學發生興趣,曾問高班同學:「什麼是數學的最高真理?」當時同學告訴他「畢達高拉斯定理」(即中國人稱「商高定理」)是可以作為代表,引起了他對幾何的興趣。

  有一天一個老師講:「三十個果子給三十個人平分,每一個人得到一個。同樣的十四個果子給十四個人平分,每一個人得一個果子。」從這裏老師下了結論:任何數給自己除得到是一。拉瑪奴江覺得不對,馬上站起來問:「是否每一個人也得到一個?」這時數字的奇妙性質引起了他的注意,也差不多在這個時候他對等差,等比級數的性質自己作了研究。

  在十三歲時,高班的同學借給他一本Loney 的〈三角學〉一書(以,前,有一些學校採用此書為高中課,中譯本書名為〈龍氏三角學〉),他很快把整夬書的習題解完。第二年他得到了正弦和餘弦函數的無窮級數展開式,後來他才知這是著名的Euler 公式,他心中有點失望,於是把自己結果的草稿,偷偷地放到裏的屋樑上。

  他十五歲時,朋友借給了他二厚冊英國人卡爾(Carr)寫「純數的應用數學基本結果大要」一書。這書是寫得相當枯燥無味的,羅列了在代數、微積分、三角學和解析幾何的六千個定理和公式。這本書對他來說是本好書,他自己證明了其中的一些定理,而以後他研究的基礎全是這書給出的。

  在1930年他進入了家鄉的政府學院,由於貧窮和入學試成績優越,他獲得獎學金,可是在學院裏他太專心於自己善羑的數學,而忽略了其他科目,結果年考不及格而失去了獎學金。在1906年他轉到另外一間學院讀二年級並參加1907年的「文科第一考試」,。是又失敗了。

  在1907年到1910年之間,他住在外面,找不到任何工作,有時替朋友補習以換取一些吃的東西。在這段期間,他自己研究魔方陣、連環分數、超幾何級數、橢圓積分及一些數論問題,他把自己得到的結果寫在二本記事簿裏,生活不安定不能使到他對數學的愛好減少,一個善良的鄰居老太太,看他生活困難,幾次在中餐時邀他在家裏吃些東西。

  根據印度的習俗,他家人在1909年為他安排了婚事,妻子是一個九歲的女孩。在1910年他是二十三歲了,有了家而且因是長子,必須幫助家一些費用,他不得不極力尋找工作,後來朋友推薦他去找印度官員拉奧。

  拉奧本身是一個有錢的印度官員,也是印度數學會的創辦人之一,認為拉瑪奴江不適合做其他工作,很難介紹工作給柋,因此寧願每個月給他一些錢,夠他生活不必去工作,而他自己可以作研究。他很賞識拉瑪奴江的數學才能。

  接瑪奴江只好接受這些錢,又繼續他的究工作。每天傍晚時分才在馬德拉斯(Madras)的海邊散步和朋友聊天作為休息。有一天一個老朋友遇到他,就對他說:「人們稱讚你有數學的天才!」拉瑪奴江聽了笑道:「天才?!請你看看我的肘吧!」他的肘的皮膚顯得又黑又厚。他解釋他日夜在石板上計算,用破布來擦掉石板上的字太花時間了,他每幾分鐘就用肘直接擦石板的字。朋友問他既然要作這麼多計算為甚麼不用紙來寫。拉瑪奴江說他連吃飯都成問題,那裏有錢去買大量的紙來用,原來接瑪奴江覺得依靠別人生活心裡是很慚愧,已經有一個月不去拿錢了。

  很幸運拉瑪奴江獲得了獎學金,在19135月開始,他每個月獲得七十五盧比。不久他的朋友協助他用英文寫了一封信給英國劍橋大學的著名數學家哈地球(G.H.Hardy)教授,在這信裏列下了他以前研究得到的一百二十個定理和公式。

  哈地教授看到他的一些結果,有些是重新發現一百年前大數學家的結果,有一些是錯誤,有一些是非常深入困難,經過許多波折,拉瑪奴江總算來到了英國。哈地認為要教他現代數學,如果照常規從頭學起,很可能會對拉瑪奴江的才能有損害。而他又不能停留在對現代數學無知的狀態。因此哈地用自己獨特的方法幫助他學習,終於拉瑪奴江掌握了較健全的現代分析理論的知識。比他教給拉瑪奴江的還多。

  從19141918年拉瑪奴江和教授寫了許多重要的數學論文。由於他是個虔誠的婆羅門教徒,絕對奉行素食主義,在英國生活那段時間,他自己煮自己的食物,而常常因研究而忘記吃飯,他的身體越來越衰弱,後來常感到身上有無名的疼痛。

  後來才發現他患上了無法醫治的肺病。在英國醫院住了一個時期。哈地教授講他在病中的一個故事:

  有一天哈地乘了一輛出租汽車去看他,這車牌號碼是1729。哈地對拉瑪奴江講出了這個數字,看來沒有甚麼意義。可是拉瑪奴江想一下馬上回答:「這是最小的整數能用二種方法來表示二個整數的立方的和。」

(1729=13+123=93+103)

  拉瑪奴江被稱為數學的預言家,他死後已經有五十四年了,可是他的一些預測的結果,還是目前數學家正想法證明的。

  他在1920426日死於麻特拉斯,馬德拉斯大學後來建立了一個高等數學研究所,就用他的名字來命名。而在1974年還準備在研究所門前為他矗立一個大理半身像。

  如果他英靈有知,或許他會說:「不必替我立像,應該求求那些正在餓死的小孩,他們有許多會是未來的拉瑪奴江!」

 

 

心得

   正如阿基師所說的:『順境時要學習,逆境時更要隨時充電』,拉瑪魯江的故事帶給我許多啟發。在許多先進國家裡,孩童們常抱怨著:為何我們要讀書?為什麼不能一直打電腦、玩遊戲?殊不知「學習」是多少窮苦孩子所希望的事,古代的王冕、現在的賴進東都是如此。人總是身在福中不知福,以為這一切都是這麼理所當然,而忘了應當積極、努力向上地做任何一件事,拉瑪魯江的態度正是我們要學習的,做學問應該時時保持一顆熱忱的心,不因時因地而有所不同,以前進取心強,現在也應該如此,不是嗎?

31805張簡如雅

2013-05-10 08:01:36
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