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鳳中雲端讀書會-佳蓉分會 / 幾何學三大難題

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郭佳蓉
在第一冊1-1中,同學们必須學會有理數和無理數的尺規作圖,順帶一提何謂<幾何學三大難題>:三等份角.化圓為方.立方倍積,請同學查一查資料,藉此更了解數學史,及寫下自己的心得感受!

2013-09-09 14:44:01
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郭佳蓉

數學報告-幾何三大難題   

                   116 13 陳玨安       

1. 立方倍積                                                         當年希臘提洛斯(Delos)島上瘟疫流行,居民恐懼也向島上的守護神阿波羅(Apollo)祈禱,神廟裡的預言修女告訴他們神的指示:把神殿前的正立方形祭壇加到二倍,瘟疫就可以停止。由此可見這神是很喜歡數學的。居民得到了這個指示後非常高興,立刻動工做了一個新祭壇,使每一稜的長度都是舊祭壇稜長的二倍,但是瘟疫不但沒停止,反而更形猖獗,使他們都又驚奇又懼怕。結果被一個學者指出了錯誤:「稜二倍起來體積就成了八倍,神所要的是二倍而不是八倍。」大家都覺得這個說法很對,於是改在神前並擺了與舊祭壇同形狀同大小的兩個祭壇,可是瘟疫仍不見消滅。人們困擾地再去問神,這次神回答說:「你們所做的祭壇體積確是原來的二倍,但形狀卻並不是正方體了,我所希望的是體積二倍,而形狀仍是正方體。」居民們恍然大悟,就去找當時大學者柏拉圖Plato)請教。由柏拉圖和他的弟子們熱心研究,但不曾得到解決,並且耗費了後代許多數學家們的腦汁。而由於這一個傳說,立方倍積問題也就被稱為提洛斯問題

 

柏拉圖Plato,公元前427公元前347年)是希臘數學家、哲學家、教育家。生於雅典,卒於同地。20歲起追隨哲學家蘇格拉底Socrates),深受其邏輯思想的影響。蘇格拉底去世後,他外出遊歷,學識漸增。數學上受到西奧多羅斯Theodorus of Cyrene)和畢達哥拉斯學派的阿爾塔斯等人的影響。他崇尚理念,認為數學是理念的一部分,整個物質世界是依照數學原則設計的,即「神永遠按幾何規律辦事」。數學是物質世界通向理念界的必經之路,受到數學訓練的心靈才可能去認識永恒的理念。故而,在他的園門口寫著「不懂幾何者不得入內」。他討論了立方倍積問題,主張幾何作圖應限尺規,認為若用其他工具,就難以達到訓抽象思維的目的。他提出分析的證明法,引入術語「分析」和「綜合」,最早論證歸納法和反証法,這些方法已在數學研究中獲得廣泛的運用。他還對幾何中採用邏輯方法做出了重要的改進,給幾何概念、公理以更為明确的闡述。歐幾里得的許多定義和公理都歸功於柏拉圖學派。他的數學哲學也影響深遠,其名著《理想國》中有專章論述有關問題。此外,他對教育課程的設置與改造常為後人稱道,被譽為「數學家的締造者」。

2. 化圓為方 

(1) 其問題為: 求一正方形,其面積等於一給定的面積。如果尺規能夠化圓為方,那麼必然能夠從單位長度出發,用尺規作出長度為 的線段。

(2)    1882,數學家林德曼證明了 超越數(超越數是指任何一個不是代數數的無理數。只要它不是任何一個整係數代數方程,它即是超越數),因此也證實該問題僅用尺規是無法完成的。 如果放寬尺規作圖的限制或允許使用其他工具,化圓為方的問題是可行的。如藉助西皮阿斯割圓曲線英語quadratrix阿基米德螺線等。(((((((((尺規可作性和規矩數:  尺規可作性相關的概念是規矩數。設H是從集合E0={(0,0), (0,1)}開始,尺規可作點的集合: 那麼規矩數定義為H中的點的橫坐標和縱坐標表示的數。

定義:實數ab是規矩數當且僅當(a, b)H中的一個點。[3]:522

可以證明,有理數 是所有規矩數構成的集合K的子集,而K又是實數集 的子集。另外,為了在複數集 內討論問題,也會將平面 看作複平面 ,同時定義一個複數a+bi是(復)規矩數當且僅當點(a, b)H中的一個點。所有復規矩數構成的集合L也包含 作為子集,並且是複數集 的子集。從尺規可作性到解析幾何下的規矩數,尺規作圖問題從幾何問題轉成了代數的問題。))))))))

                                                            

3. 三等分角

(1).三等分角問題的內容是:「能否僅用尺規作圖法將任意角度三等分?」

(2). 法國數學家皮埃爾·汪策爾英語Pierre Wantzel首先利用伽羅瓦理論證明,這個問題的答案是否定的:不存在僅用尺規作圖法將任意角度三等分的通法。如果不將手段局限在尺規作圖法中,放寬限制或藉助更多的工具的話,三等分任意角是可能的

 

 

心得:1.三個幾何問題看下來,尺規作圖能解決的問題似乎很侷限

      2.我覺的古希臘人挺閒的,是如何想出這些問題的,這些問題似        

        乎與日常生活無關,知道這三個問題的解法,能解決日常生活 

        的遇到的困難或使人類更了解世界嗎...........,我想知道    

        這三個問題的用意。    

 

 

 

 

 

 

 

 

(資料來源:Yahoo知識、維基百科  )    

2013-09-10 09:05:34
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郭佳蓉

古希臘三大幾何問題 

在數學的歷史有三個問題始終以可驚的力量堅廿了兩千多年。初等幾何學到現在至少已有了三千年的歷史,在這期間努力於初等幾何學之發展的學者們曾經遇到過很多的難題,而始終絞著學者腦汁的卻就是這三個問題。問題是「立方倍積」,「化圓為方」和「三等分角」,由於這三個問題的屹立不移,現在就被合稱為「三大問題」。



立方倍積

  關於立方倍積的問題有一個神話流傳:當年希臘提洛斯(Delos)島上瘟疫流行,居民恐懼也向島上的守護神阿波羅(Apollo)祈禱,神廟裡的預言修女告訴他們神的指示:把神殿前的正立方形祭壇加到二倍,瘟疫就可以停止。由此可見這神是很喜歡數學的。居民得到了這個指示後非常高興,立刻動工做了一個新祭壇,使每一稜的長度都是舊祭壇稜長的二倍,但是瘟疫不但沒停止,反而更形猖獗,使他們都又驚奇又懼怕。結果被一個學者指出了錯誤:「稜二倍起來體積就成了八倍,神所要的是二倍而不是八倍。」大家都覺得這個說法很對,於是改在神前並擺了與舊祭壇同形狀同大小的兩個祭壇,可是瘟疫仍不見消滅。人們困擾地再去問神,這次神回答說:「你們所做的祭壇體積確是原來的二倍,但形狀卻並不是正方體了,我所希望的是體積二倍,而形狀仍是正方體。」居民們恍然大悟,就去找當時大學者柏拉圖(Plato)請教。由柏拉圖和他的弟子們熱心研究,但不曾得到解決,並且耗費了後代許多數學家們的腦汁。而由於這一個傳說,立方倍積問題也就被稱為提洛斯問題。



化圓為方 

  方圓的問題與提洛斯問題是同時代的,由希臘人開始研究。有名的阿基米得把這問題化成下述的形式:已知一圓的半徑是r,圓周就是2πr,面積是πr2。由此若能作一個直角三角形,其夾直角的兩邊長分別為已知圓的周長2πr及半徑r,則這三角形的面積就是



(1/2)(2πr)(r)=πr2



與已知圓的面積相等。由這個直角三角形不難作出同面積的正方形來。但是如何作這直角三角形的邊。即如何作一線段使其長等於一已知圓的周長,這問題阿基米德可就解不出了。



三等分角

三等分任意角的題也許比那兩個問題出現更早,早到歷史上找不出有關的記載來。但無疑地它的出現是很自然的,就是我們自己在現在也可以想得到的。紀元前五、六百年間希臘的數學家們就已經想到了二等分任意角的方法,正像我們在幾何課本或幾何畫中所學的:以已知角的頂點為圓心,用適當的半徑作弧交角兩的兩邊得兩個交點,再分別以這兩點為圓心,用一個適當的長作半徑畫弧,這兩弧的交點與角頂相連就把已知角分為二等分。二等分一個已知角既是這麼容易,很自然地會把問題略變一下:三等分怎麼樣呢?這樣,這一個問題就這麼非常自然地出現了。

出處: http://www.mikekong.net/Maths/maths-frame.php

 

11626邱永陞

2013-09-10 09:38:48
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郭佳蓉
郭佳蓉


數學報告.pdf 2013-09-14 10:48:25
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郭佳蓉
郭佳蓉
郭佳蓉


古希臘三大幾何問題.pdf 2013-09-14 11:00:40
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郭佳蓉


數學三大難題.pdf 2013-09-14 17:19:11
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郭佳蓉

幾何學三大難題

01.三等分任意角:由求作多邊形一類的問題引起的,也是人們廣泛研究角的等分問題的結果。例如60度角,它的1/320,如果用尺規可以作出,那麼正18邊形、正9邊形也都可以作出來了。

02.化圓為方:這是基於人們以多邊形的任意逼近圓的認識。任意凸多邊形可分解為若干個三角形,所以凸多邊形化為正方形是可能的;既然圓可以由凸多邊形任意逼近,那麼想到用直尺和圓規來化圓為方也是很正常的。

03.立方倍積:這個問題應該是起源於建築的需要。埃拉托塞尼記述了兩個神話故事:一個是鼠疫蔓延提洛島,一個先知者說已得到神的諭示,必須將立方形的阿波羅祭壇的體積加倍,瘟疫方能停息。建築師很為難,不知怎樣才能使體積加倍,於是去請教哲學家柏拉圖。柏拉圖對他們說:神的真正意圖不在於神壇的加倍,而是想使希臘人為忽視幾何學而感到羞愧;另一個故事說古代一位悲劇詩人描述克利特王彌諾斯為格勞科斯修墳,他嫌造的太小,命令說:必須將體積加倍,但要保持立方體的形狀。這兩個傳說都表明倍立方問題起源於建築的需要。不過,還有一種非神話說法是:古希臘數學家看到利用尺規作圖很容易作一正方形,使其面積是已知正方形面積的兩倍,從而就進一步提出了倍立方問題。

 

 

讀完這個網站的內容,我了解到,雖然有些事是不能被解決的,但在解決的過程中,卻能而外得到其他知識及推廣,讓我有更正確學習事物的方法。

 

 

 

參考資料: www.shs.edu.tw/works/essay/2009/03/2009033023361477.pdf

10123王識閔

2013-09-16 14:43:11
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郭佳蓉


101 32 張淙閔.pdf 2013-09-16 14:49:52
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郭佳蓉

1124號白勝宇

 

 

實際中存在著各種各樣的幾何形狀,曲和直是最基本的圖形特徵。相應地,人類最早會畫的基本幾何圖形就是直線和圓。畫直線就得使用一個邊緣平直的工具,畫圓就得使用一端固定而另一端能旋轉的工具,這就產生了直尺和圓規。 

  古希臘人說的直尺,指的是沒有刻度的直尺。他們在大量的畫圖經歷中感覺到,似乎只用直尺、圓規這兩種作圖工具就能畫出各種滿足要求的幾何圖形,因而,古希臘人就規定,作圖時只能有限次地使用直尺和圓規這兩種工具來進行,並稱之為尺規作圖法。 

  漫長的作圖實踐,按尺規作圖的要求,人們作出了大量符合給定條件的圖形,即便一些較為複雜的作圖問題,獨具匠心地經過有限步驟也能作出來。到了大約西元前6世紀到4世紀之間,古希臘人遇到了令他們百思不得其解的三個作圖問題。 

古希臘三大名題是早期希臘數學家特別感興趣的三個問題。由於我們的現代幾何學知識是從希臘發源的,因此這三個古典幾何問題在幾何學中有著很高的地位。它們分別是:

化圓為方問題
求一個正方形的邊長,使其面積與一已知圓的相等;
三等分角問題
求一角,使其角度是一已知角度的三分之一
倍立方問題
求一立方體的棱長,使其體積是一已知立方體的二倍。


1837年,23歲的萬芝爾以他的睿智和毅力實現了自己的夢想,證明了立方倍積與三等分任意角不可能用尺規作圖法解決,宣佈了2000多年來,人類征服幾何三大難題取得了重大勝利。 

  他的證明方法是這樣的: 

  假設已知立方體的棱長為a,所求立方體的棱長為x,按立方倍積的要求應有x3=2a3的關係。所以立方倍積實際是求作滿足方程x32a30的線 

X,但些方程無有理根,若令a=1,則要作長度為2的立方根的線段,但2的立方根超出了有理數加、減、乘、除、開方的運算範圍,超出了尺規作圖準則中所說的數量範圍,所以它是不可能解的問題。 

  用類似地想法,他證明了三等分角也是不可能解的問題。實際上萬芝爾還證明了一個被稱為高斯——萬芝爾定理:如果邊數N可以寫成如下形式N2t·P1·P2……Pn,其中P1P2、…Pn都是各不相同的形如22k1的素數,則可用尺規等分圓周N份,且只有當N可以表成這種形式時,才可用尺規等分圓周N份。根據這一定理,任意角的三等分就不可能了。 

  1882年,德國數學家林德曼借助於eiπ=-1證明了π的超越性,從而解決了化圓為方的問題。假設圓的半徑為r,正方形的邊長為x,按化圓為方數代數方程的根,更不能用加減乘除開平方所表示,因而不可能用尺規法作圖。 

  從此,古典幾何的三大難題都有了答案。 

特別值得提到的是,在三大幾何難題獲得解決的同時,法國數學家伽羅瓦從一般角度對不可能性問題進行研究,在1830年,19歲的伽羅瓦提出了解決這一類問題的系統理論和方法,從而創立了群論。群論是近世抽象代數的基礎,它是許多實際問題的數學模型,應用極其廣泛,而三大幾何作圖難題只不過是這種理論的推論、例題或習題。所以,一般認為三大難題的解決歸功於伽羅瓦理論,可伽羅瓦理論是在他死後14年才發表的,直到1870年,伽羅瓦理論才得到第一次全面清楚的介紹。

 

 

 心得

在這個報告中 我從網路上探討了3大幾何難題也探討了整個數學史

在國中的時候就有感受到做數學的樂趣了 但是從來沒有到做過有關於數學的報告

相信 瞭解數學的歷史也能對數學概念幫助甚大



2013-09-16 14:56:53
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郭佳蓉


幾何學三大難題.pdf 2013-09-16 15:00:19
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郭佳蓉

幾何三大難題及其解決

 

前言:年輕時學幾何 遇到三大難題 不得其解,始終記在心中。

 引用:http://tieba.baidu.com/f?kz=20881288 (原文為簡體)

  位於歐洲南部的希臘,是著名的歐洲古國,幾何學的故鄉。這裏的古人提出的三大幾何難題,在科學史上留下了濃濃的一筆。這延續了兩千多年才得到解決的世界性難題,也許是提出三大難題的古希臘人所不曾預料到的。 

 三大難題的提出 

   實際中存在著各種各樣的幾何形狀,曲和直是最基本的圖形特徵。相應地,人類最早會畫的基本幾何圖形就是直線和圓。畫直線就得使用一個邊緣平直的工具,畫圓就得使用一端固定而另一端能旋轉的工具,這就產生了直尺和圓規。 

   古希臘人說的直尺,指的是沒有刻度的直尺。他們在大量的畫圖經歷中感覺到,似乎只用直尺、圓規這兩種作圖工具就能畫出各種滿足要求的幾何圖形,因而,古希臘人就規定,作圖時只能有限次地使用直尺和圓規這兩種工具來進行,並稱之為尺規作圖法。 

   漫長的作圖實踐,按尺規作圖的要求,人們作出了大量符合給定條件的圖形,即便一些較為複雜的作圖問題,獨具匠心地經過有限步驟也能作出來。到了大約西元前6世紀到4世紀之間,古希臘人遇到了令他們百思不得其解的三個作圖問題。 

   三等分角問題:將任一個給定的角三等分。 

   立方倍積問題:求作一個正方體的棱長,使這個正方體的體積是已知正方體體積的二倍。 

   化圓為方問題:求作一個正方形,使它的面積和已知圓的面積相等。 

   這就是著名的古代幾何作圖三大難題,它們在《幾何原本》問世之前就提出了,隨著幾何知識的傳播,後來便廣泛留傳於世。 

 貌以簡單其實難 

   從表面看來,這三個問題都很簡單,它們的作圖似乎該是可能的,因此,2000多年來從事幾何三大難題的研究頗不乏人。也提出過各種各樣的解決辦法,例如阿基米德、帕普斯等人都發現過三等分角的好方法,解決立方倍積問題的勃洛特方法等等。可是,所有這些方法,不是不符合尺規作圖法,便是近似解答,都不能算作問題的解決。 

   其間,數學家還把問題作種種轉化,發現了許多與三大難題密相關的一些問題,比如求等於圓周的線段、等分圓周、作圓內接正多邊形等等。可是誰也想不出解決問題的辦法。三大作圖難題就這樣絞盡了不少人的腦汁,無數人做了無數次的嘗試,均無一人成功。後來有人悟及正面的結果既然無望,便轉而從反面去懷疑這三個問題是不是根本就不能由尺規作出? 

   數學家開始考慮哪些圖形是尺規作圖法能作出來的,哪些不能?標準是什麼?界限在哪里?可這依然是十分困難的問題。 

 高斯的發現 

   歷史的車輪轉到了17世紀。法國數學家笛卡爾創立解析幾何,為判斷尺規作圖可能性提供了從代數上進行研究的手段,解決三大難題有了新的轉機。 

   最先突破的是德國數學家高斯。他於1777430日出生於布勞恩斯魏克一個貧苦的家庭。他的祖父是農民,父親是打短工的,母親是泥瓦匠的女兒,都沒受過學校教育。由於家境貧寒,冬天傍晚,為節約燃料和燈油,父親總是吃過晚飯就要孩子睡覺。高斯爬上小閣樓偷偷點亮自製的蕪菁小油燈,在微弱的燈光下讀書。他幼年的聰慧博得一位公爵的喜愛,15歲時被公爵送進卡洛琳學院,1795年又來到哥庭根大學學習。由於高斯的勤奮,入學後第二年,他就按尺規作圖法作出了正17邊形。緊接著高斯又證明了一個尺規作圖的重大定理:如果一個奇素數P是費爾馬數,那麼正P邊形就可以用尺規作圖法作出,否則不能作出。 

   由此可以斷定,正3邊、5邊、17邊形都能作出,而正7邊、11邊、13邊形等都不能作出。 

   高斯一生不僅在數學方面做出了許多傑出的成績,而且在物理學、天文學等方面也有重要貢獻。他被人們讚譽為“數學王子”。高斯死後,按照他的遺願,人們在他的墓碑上刻上一個正17邊形,以紀念他少年時代傑出的數學發現。 

 最後的勝利 

   解析幾何誕生之後,人們知道直線和圓,分別是一次方程和二次方程的軌跡。而求直線與直線、直線與圓、圓與圓的交點問題,從代數上看來不過是解一次方程或二次方程組的問題,最後的解是可以從方程的係數(已知量)經過有限次的加、減、乘、除和開平方求得。因此,一個幾何量能否用直尺圓規作出的問題,等價於它能否由已知量經過加、減、乘、除、開方運算求得。這樣一來,在解析幾何和高斯等人已有經驗的基礎上,人們對尺規作圖可能性問題,有了更深入的認識,從而得出結論:尺規作圖法所能作出的線段或者點,只能是經過有限次加、減、乘、除及開平方(指正數開平方,並且取正值)所能作出的線段或者點。 

  作者:cts2452005-6-25 11:55 回復此發言   

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古典難題的挑戰——幾何三大難題及其解決 

 

  標準有了,下來該是大膽探索、細心論證。誰能避過重重險灘將思維貫通起來,誰就是最後勝利者。1837年,23歲的萬芝爾以他的睿智和毅力實現了自己的夢想,證明了立方倍積與三等分任意角不可能用尺規作圖法解決,宣佈了2000多年來,人類征服幾何三大難題取得了重大勝利。 

   他的證明方法是這樣的: 

  假設已知立方體的棱長為a,所求立方體的棱長為x,按立方倍積的要求應有x3=2a3的關係。所以立方倍積實際是求作滿足方程x32a30的線段X,但些方程無有理根,若令a=1,則要作長度為2的立方根的線段,但2的立方根超出了有理數加、減、乘、除、開方的運算範圍,超出了尺規作圖準則中所說的數量範圍,所以它是不可能解的問題。 

   用類似地想法,他證明了三等分角也是不可能解的問題。實際上萬芝爾還證明了一個被稱為高斯——萬芝爾定理:如果邊數N可以寫成如下形式N2t·P1·P2……Pn,其中P1P2、…Pn都是各不相同的形如22k1的素數,則可用尺規等分圓周N份,且只有當N可以表成這種形式時,才可用尺規等分圓周N份。根據這一定理,任意角的三等分就不可能了。 

   1882年,德國數學家林德曼借助於eiπ=-1證明了π的超越性,從而解決了化圓為方的問題。假設圓的半徑為r,正方形的邊長為x,按化圓為方數代數方程的根,更不能用加減乘除開平方所表示,因而不可能用尺規法作圖。 

   從此,古典幾何的三大難題都有了答案。 

   2000多年來,一代接一代地攻克三大難題,有人不禁要問這值得嗎?假如實際中真遇到要三等分角、立方倍積、化圓為方,只要行之有效,何苦一定用尺規作圖法解決?其實,數學研究並非一定要實用,數學家對每一個未知之謎都要弄個清楚,道個明白,這種執著追求的拗勁正是科學的精神。更為重要的是,對三大難題的研究,反過來促進了數學的發展,出現了新的數學思想和方法,例如阿基米德、帕普斯發現的三等分角的方法,勃洛特用兩塊三角板解決立方倍積問題(這個我在上初中時曾經證明過,的確成立),等分圓周、作正多邊形,高斯關於尺規作圖標準的重大發現等等。每一次突破不僅是人類智慧的勝利,使數學園地爭奇競豔,而且有利於科學技術的發展。 

   特別值得提到的是,在三大幾何難題獲得解決的同時,法國數學家伽羅瓦從一般角度對不可能性問題進行研究,在1830年,19歲的伽羅瓦提出了解決這一類問題的系統理論和方法,從而創立了群論。群論是近世抽象代數的基礎,它是許多實際問題的數學模型,應用極其廣泛,而三大幾何作圖難題只不過是這種理論的推論、例題或習題。所以,一般認為三大難題的解決歸功於伽羅瓦理論,可伽羅瓦理論是在他死後14年才發表的,直到1870年,伽羅瓦理論才得到第一次全面清楚的介紹。 

…………………………………………………………………

 

以上資料引自於http://tieba.baidu.com/f?kz=20881288 http://blog.udn.com/surpanp/3248683

 

心得感想

 

古時候的數學家為了三個幾何學的難題,相繼探索了幾千年,結果最後得出的答案是其中兩個無法用尺規作出。我看了幾篇關於幾何學三大難題的,每篇的說法都不太相同,我最後選這篇是因為它連得出想法的數學家的部分生平都有記到。

數學的廣大是沒有範圍的,為了解決共同的疑問,時代和年代對數學家來說不是限制,幾千年的疑問最後的結論是無法以尺規作出,不知道當時提出問題的希臘人知道的話會做何感想?

現在的學生常常因為一些暫時解不開的問題而放棄數學,但若仿效古代數學家的精神,為了求得出答案而努力不懈的計算,幾乎是沒有解不開的謎團。古人努力執著的優點值得學習。

 

 

 

1110號張穆馨



2013-09-16 15:05:37
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郭佳蓉


數學三大難題.pdf 2013-09-16 15:13:59
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郭佳蓉


幾何學三大難題 1-1 25.pdf 2013-09-16 15:19:11
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郭佳蓉

一年16 五號  汪品怡

幾何學三大難題是指以尺規作圖無法做出下列這三個題目

 

1. 給一個正立方體,然後做一個正立方體為原先之正立方體體積的 2 倍。

2. 任給一個角,試著將這一個角三等分。

3. 做一個正方形和單位圓的面積相等。

 

代數的形式表現↓

 

1. 做出 2 的開立方。

2. 做出三次方程式或更複雜之方程式的根。

3. 做出 π的開平方根。

 

來源↑:http://web.chsh.chc.edu.tw/bee/oldmath/class01/004.asp

立方倍積問題:

為什麼立方倍積問題不能在有限次數用直尺和圓規作出呢?

 

假設已知立方體的邊長為a,所求立方體的邊長為x。則: x3=2a3。令a=1,則上述方程式變成:x3-2=0

根據初等代數方程式求根的常識,如果x3-2=0之有理係數三次方程含有有理根,則這個根不外是:±1、±2。但經逐一代入試驗,±1及±2均不符合可見方程式必無有理根

 

根據上節之”定理A”(若有理係數3次方程式,沒有有理數解,則此方程式沒有能以直尺及圓規作圖的解),因為上述方程的實根為,所以不能用直尺和圓規作出。這就證明了立方倍積問題不能只用是直尺和圓規作圖劃出。

三等分任意角問題

為什麼三等分任意角不能在有限次數用直尺和圓規作出呢?

 

要證明這個問題,我們首先討論將三等分任意角化成 4x3-3x-cos3θ=0 之問題。假設任意的角為∠XOY,以其頂點O為中心畫圓,設與OXOY分別交於點A,點B。又設E為從BOA的垂線的垂足。已知 XOY 為已知角,OB=1則:

OE=cos3θ

 

設∠XOY 3等分線與此圓的交點從靠近A點數起依次為CD,從COX垂線的垂足為F。若知道OF=x的長度,即能劃出∠XOY 3等分線。

 

若設∠XOY =3θ,∠XOC =θ

cos3θ=OE;cosθ=x

若將其代入於三角學的3倍角公式

cos3θ=4cos3θ-3cosθ,

即得cos3θ=4x3-3x

亦即4x3-3x-cos3θ=0

因此3等分任意角的問題,等於對任意的,找出滿足此方程式之x的問題。在回答上述問題時,我們先知道下列的定理。

 

定理A:若”有理係數3次方程式”  沒有”有理數解”,則此方程式就沒有能以直尺及圓規作圖的解。

 

因此,若想證明不可能用直尺及圓規把任意角3等分,則只要證明對於有理數cos3θ的某值來說,

3次方程式 4x3-3x-cos3θ=0 不具有有理數解即可。

也就是說我們只要舉出一個例子,譬如證明存在已知的角為60°,且cos3θ=1/2 時,3次方方程式

4x3-3x-1/2=0……………………(1)

 

沒有有理數解,則根據“定理A”,等於證明了不可能用直尺及圓規把60度這個角3等分。由此可證明任意角(至少是60度角)不能用直尺及圓規來三等分。

 

現以2xy代入方程式(1),可得較簡單的形式:y3-3y-1=0

根據代數方程式求根的知識,如果有y3-3y-1=0“有理根”,則不外是±1。經逐一代入驗算後,均不符合,可見此方程式沒有“有理根”,亦即60度角不能用直尺和圓規三等分任意角。

注意“定理A”是指pqr是有理數的情況,當cos3θ值為無理數時如則"θ"=30° 45° ”定理A”就不再適用。

 

 

化圓為方角問題

為什麼化圓為方問題不能在有限次數用直尺和圓規作出呢?

 

化圓為方問題和三等分角問題、立方倍積問題一樣,無法用直尺和圓規作圖。它可以化成為求方程式x2=m2x為方形的一邊,r是已知圓的半徑)的解,或求作線段 。根據尺、規作圖的準則,不能用尺規作圖作出線段x因為π是超越數,它不是任何整系數代數方程的解。

來源↑: http://www.fivedream.com/page1.aspx?no=221249&step=1&newsno=15079

 

個人觀點

1.根號2是無理數無法開三次根號

 

2.由上式可知 沒有有理數解,就無法算出方程式裡的解

 

3.因為π是無理數,所以沒辦法開根號

 



2013-09-23 09:12:27
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郭佳蓉


數學三大難題 _2_.pdf 2013-09-23 09:23:13
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郭佳蓉

幾何三大難題

 

 

11639蔡易翔

立方倍積:求作一個正方體的棱長,使這個正方體的體積是已知正方體體積的二倍。

 

三等分角:將任一個給定的角三等分。

 

化圓為方:求作一個正方形,使它的面積和已知圓的面積相等。

 

 

 

解決方法

 

立方倍積:假設已知立方體的棱長為a,所求立方體的棱長為x,按立方倍積的要求應有x3=2a3的關係。所以立方倍積實際是求作滿足方程x32a30的線 

X,但些方程無有理根,若令a=1,則要作長度為3√2的線段,但3√2超出了有理數加、減、乘、除、開方的運算範圍,超出了尺規作圖準則中所說的數量範圍,所以它是不可能解的問題。 

                                                                              

三等分角:如果邊數N可以寫成如下形式N2t·P1·P2……Pn,其中P1P2、…、Pn都是各不相同的形如22k1的素數,則可用尺規等分圓周N份,且只有當N可以表成這種形式時,才可用尺規等分圓周N份。根據這一定理,任意角的三等分就不可能了

 

化圓為方:1882年,德國數學家林德曼借助於eiπ=-1證明了π的超越性,從而解決了化圓為方的問題。假設圓的半徑為r,正方形的邊長為x,按化圓為方數代數方程的根,更不能用加減乘除開平方所表示,因而不可能用尺規法作圖。 

 

心得

 

小時後就曾有看過這類的漫畫不過現在僅存著模糊的印象。裡頭像笛卡兒高斯萬芝爾伽羅瓦都是裡面的關鍵人物。希望在學習數學的過程中,能夠擁有像他們一樣的毅力和智慧



2013-09-23 09:28:23
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郭佳蓉

幾和學上的三大難題

一年一班1號吳迦媺

相信許多人都聽過幾何三大難題,其實,應該是說幾何上三件做不到的事情,而所謂的做不到,是利用尺規做圖的方法做不到。

給一根沒有刻度的直尺,給一個圓規,再給一條線,線上有一個點,習慣上我們稱這一點為原點,直線上還有一段長,這一段長稱之為單位長,所謂的幾何三大難題是說:

1. 給一個正立方體,然後做一個正立方體為原先之正立方體體積的 2 倍。
2.
任給一個角,試著將這一個角三等分。
3.
做一個正方形和單位圓的面積相等。

這些幾何的問題,如果將其換成代數的形式就變成:

1. 做出 2 的開立方。
2.
做出三次方程式或更複雜之方程式的根。
3.
做出 π的開平方根。

O.K. 現在的問題是:為何說這樣的問題是做不到的呢?(這當然很難說明其中的原因,bee 先將結果說一說好了)原來,尺規做圖只能做出倍數,等分與開方的動作,而幾何三個難題中:

1. 是開立方的動作,
2.
大部分的三次方程式的根牽涉到三次方根,更不用說其他情形的方程式,當然,有些特殊情形是可以做的( 90 度等特殊角)
3.
π本身是無理數,但是,它不是開方類的無理數,而是超越數,其製作的難度更高,如果我們允許使用尺規方法無限多次才可能辦到於是,幾何的問題變成代數的問題,而使用代數的方法,我們發現這三個問題是做不到的。

人類古代認為所有的數都是有理數,而尺規可以做的數遠較有理數為多,因為,它加入了開平方類的數,不過即使如此,要達到表達所有的數的境界依然很遠,即使,我們使用所有 n 次開方類的數,也就是所謂的代數數,依然是無法做到的

從表面看來,這三個問題都很簡單,它們的作圖似乎該是可能的,因此,2000多年來從事幾何三大難題的研究頗不乏人。也提出過各種各樣的解決辦法,例如阿基米德、帕普斯等人都發現過三等分角的好方法,解決立方倍積問題的勃洛特方法等等。可是,所有這些方法,不是不符合尺規作圖法,便是近似解答,都不能算作問題的解決。

其實數學研究並非一定要實用,數學家對每一個未知之謎都要弄個清楚,道個明白,這種執著追求的拗勁正是科學的精神。更為重要的是,對三大難題的研究,反過來促進了數學的發展,出現了新的數學思想和方法。正因為如此,數學之豐富才吸引人吧!

 

心得:

小時候我認為數學是門相當實用且有趣的學問,但隨著年紀逐漸長大學的數學也越來越難。開始覺得好像不再那麼有趣,也感受到了挫折。但當我在查這份作業的時候,看到很多數學家為了一個問題反覆思考了這麼長的時間,身受感動。就是這種鍥而不捨追求科學的精神造就了人類文明的進步!

 

 

 

 

 

 

資料來源:

http://blog.udn.com/surpanp/3248683

http://web.chsh.chc.edu.tw/bee/oldmath/class01/004.asp

 



2013-09-23 09:31:54
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